गणितीय पेंडुलम- यह पृथ्वी के गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र में स्थित एक भारहीन और अटूट धागे पर लटका हुआ एक भौतिक बिंदु है। एक गणितीय पेंडुलम एक आदर्श मॉडल है जो केवल कुछ शर्तों के तहत वास्तविक पेंडुलम का सही वर्णन करता है। एक वास्तविक पेंडुलम को गणितीय माना जा सकता है यदि धागे की लंबाई उस पर निलंबित शरीर के आयामों की तुलना में बहुत अधिक है, शरीर के द्रव्यमान की तुलना में धागे का द्रव्यमान नगण्य है, और धागे की विकृति इतनी छोटी है कि उन्हें पूरी तरह से उपेक्षित किया जा सकता है।

इस मामले में दोलन प्रणाली एक धागे, उससे जुड़े शरीर और पृथ्वी से बनती है, जिसके बिना यह प्रणाली एक पेंडुलम के रूप में काम नहीं कर सकती थी।

कहाँ पे एक एक्स – त्वरण, जी - गुरुत्वाकर्षण का त्वरण, एक्स- ऑफसेट, एलपेंडुलम स्ट्रिंग की लंबाई है।

यह समीकरण कहा जाता है गणितीय पेंडुलम के मुक्त दोलनों का समीकरण।यह सही ढंग से विचाराधीन दोलनों का वर्णन करता है, जब निम्नलिखित धारणाएँ पूरी होती हैं:

2) एक छोटे दोलन कोण के साथ एक पेंडुलम के केवल छोटे दोलनों पर विचार किया जाता है।

सभी मामलों में किसी भी प्रणाली के मुक्त कंपन को समान समीकरणों द्वारा वर्णित किया जाता है।

गणितीय पेंडुलम के मुक्त दोलनों के कारण हैं:

1. तनाव बल और गुरुत्वाकर्षण बल के पेंडुलम पर कार्रवाई, इसके विस्थापन को संतुलन की स्थिति से रोकना और इसे फिर से गिरने के लिए मजबूर करना।

2. लोलक का जड़त्व, जिसके कारण वह अपनी गति को बनाए रखते हुए संतुलन की स्थिति में रुकता नहीं है, बल्कि उससे आगे निकल जाता है।

एक गणितीय पेंडुलम के मुक्त दोलनों की अवधि

एक गणितीय पेंडुलम के मुक्त दोलनों की अवधि उसके द्रव्यमान पर निर्भर नहीं करती है, लेकिन केवल धागे की लंबाई और पेंडुलम के स्थान पर मुक्त पतन त्वरण द्वारा निर्धारित की जाती है।

हार्मोनिक कंपन के दौरान ऊर्जा रूपांतरण

एक वसंत पेंडुलम के हार्मोनिक दोलनों के साथ, एक लोचदार रूप से विकृत शरीर की संभावित ऊर्जा इसकी गतिज ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है, जहां क – लोच गुणांक, एक्स -संतुलन स्थिति से पेंडुलम विस्थापन मॉड्यूल, एम- पेंडुलम का द्रव्यमान, वि- उसकी गति। हार्मोनिक दोलनों के समीकरण के अनुसार:

, .

स्प्रिंग पेंडुलम की कुल ऊर्जा:

.

गणितीय पेंडुलम के लिए कुल ऊर्जा:

गणितीय पेंडुलम के मामले में

एक वसंत पेंडुलम के दोलनों के दौरान ऊर्जा परिवर्तन यांत्रिक ऊर्जा के संरक्षण के कानून के अनुसार होता है ( ). जब पेंडुलम संतुलन की स्थिति से ऊपर या नीचे जाता है, तो इसकी संभावित ऊर्जा बढ़ जाती है और गतिज ऊर्जा कम हो जाती है। जब पेंडुलम संतुलन की स्थिति से गुजरता है ( एक्स= 0), इसकी संभावित ऊर्जा शून्य के बराबर है और पेंडुलम की गतिज ऊर्जा का सबसे बड़ा मूल्य है, इसकी कुल ऊर्जा के बराबर है।

इस प्रकार, पेंडुलम के मुक्त दोलनों की प्रक्रिया में, इसकी संभावित ऊर्जा को गतिज में, गतिज को क्षमता में, संभावित फिर गतिज में, आदि में परिवर्तित किया जाता है, लेकिन कुल यांत्रिक ऊर्जा अपरिवर्तित रहती है।

जबरन कंपन। प्रतिध्वनि।

बाह्य आवर्ती बल की क्रिया के अंतर्गत होने वाले दोलन कहलाते हैं मजबूर कंपन. एक बाहरी आवधिक बल, जिसे प्रेरक बल कहा जाता है, ऑसिलेटरी सिस्टम को अतिरिक्त ऊर्जा प्रदान करता है, जिसका उपयोग घर्षण के कारण ऊर्जा हानियों को भरने के लिए किया जाता है। यदि ड्राइविंग बल साइन या कोसाइन कानून के अनुसार समय में बदलता है, तो मजबूर दोलन हार्मोनिक और अपरिवर्तित होंगे।

मुक्त दोलनों के विपरीत, जब सिस्टम केवल एक बार ऊर्जा प्राप्त करता है (जब सिस्टम संतुलन से बाहर हो जाता है), मजबूर दोलनों के मामले में, सिस्टम इस ऊर्जा को बाहरी आवधिक बल के स्रोत से लगातार अवशोषित करता है। यह ऊर्जा घर्षण पर काबू पाने में हुए नुकसान की भरपाई करती है, और इसलिए ऑसिलेटरी सिस्टम की कुल ऊर्जा अपरिवर्तित रहती है।

प्रणोदित दोलनों की आवृत्ति प्रेरक बल की आवृत्ति के बराबर होती है. जब ड्राइविंग बल की आवृत्ति υ दोलन प्रणाली की प्राकृतिक आवृत्ति के साथ मेल खाता है υ 0 , मजबूर दोलनों के आयाम में तेज वृद्धि हुई है - गूंज. अनुनाद इसलिए होता है क्योंकि υ = υ 0 बाहरी बल, मुक्त कंपन के साथ समय में कार्य करता है, हमेशा दोलन करने वाले शरीर की गति के साथ सह-निर्देशित होता है और सकारात्मक कार्य करता है: दोलन करने वाले शरीर की ऊर्जा बढ़ जाती है, और इसके दोलनों का आयाम बड़ा हो जाता है। मजबूर दोलनों के आयाम की निर्भरता का ग्राफ लेकिन टी प्रेरक बल की आवृत्ति पर υ चित्र में दिखाया गया है, इस ग्राफ को अनुनाद वक्र कहा जाता है:

प्रतिध्वनि की घटना कई प्राकृतिक, वैज्ञानिक और औद्योगिक प्रक्रियाओं में महत्वपूर्ण भूमिका निभाती है। उदाहरण के लिए, पुलों, इमारतों और अन्य संरचनाओं को डिजाइन करते समय प्रतिध्वनि की घटना को ध्यान में रखना आवश्यक है जो भार के तहत कंपन का अनुभव करते हैं, अन्यथा, कुछ शर्तों के तहत, इन संरचनाओं को नष्ट किया जा सकता है।

गणितीय पेंडुलम छोटे आकार का एक पिंड कहलाता है, जो एक पतले अटूट धागे पर लटका होता है, जिसका द्रव्यमान पिंड के द्रव्यमान की तुलना में नगण्य होता है। संतुलन की स्थिति में, जब पेंडुलम एक साहुल रेखा पर लटका होता है, तो गुरुत्वाकर्षण का बल धागे के तनाव के बल से संतुलित होता है। जब पेंडुलम संतुलन की स्थिति से एक निश्चित कोण φ से विचलित होता है, तो गुरुत्वाकर्षण बल का एक स्पर्शरेखा घटक प्रकट होता है। एफ τ = - मिलीग्राम sin φ (चित्र 2.3.1)। इस सूत्र में ऋण चिह्न का अर्थ है कि स्पर्शरेखा घटक को पेंडुलम विक्षेपण के विपरीत दिशा में निर्देशित किया जाता है।

अगर द्वारा दर्शाया गया है एक्सत्रिज्या के एक चक्र के चाप के साथ संतुलन की स्थिति से पेंडुलम का रैखिक विस्थापन एल, तो इसका कोणीय विस्थापन φ = के बराबर होगा एक्स / एल. स्पर्शरेखा की दिशा में त्वरण और बल सदिशों के अनुमानों के लिए लिखा गया न्यूटन का दूसरा नियम देता है:

यह संबंध दर्शाता है कि गणितीय लोलक एक जटिल है गैर रेखीयप्रणाली, चूंकि पेंडुलम को अपनी संतुलन स्थिति में वापस करने के लिए प्रवृत्त बल गैर-विस्थापन के समानुपाती होता है एक्स, एक

केवल मामले मेंछोटे उतार-चढ़ाव जब करीबसे बदला जा सकता हैगणितीय पेंडुलम एक हार्मोनिक ऑसिलेटर है, यानी हार्मोनिक दोलन करने में सक्षम प्रणाली। व्यवहार में, यह सन्निकटन 15-20° की कोटि के कोणों के लिए मान्य है; जबकि मूल्य 2% से अधिक नहीं है। बड़े आयामों पर पेंडुलम दोलन हार्मोनिक नहीं होते हैं।

गणितीय पेंडुलम के छोटे दोलनों के लिए, न्यूटन के दूसरे नियम को इस रूप में लिखा जाता है

तो स्पर्शरेखा त्वरण एकलोलक का τ इसके विस्थापन के समानुपाती होता है एक्सविपरीत चिह्न के साथ लिया गया। ठीक यही वह स्थिति है जिसके तहत सिस्टम एक हार्मोनिक ऑसिलेटर है। एक सामान्य नियम के रूप में, मुक्त हार्मोनिक दोलन करने में सक्षम सभी प्रणालियों के लिए, संतुलन स्थिति से त्वरण और विस्थापन के बीच आनुपातिकता गुणांक का मापांक वृत्तीय आवृत्ति के वर्ग के बराबर होता है:

यह सूत्र व्यक्त करता है गणितीय पेंडुलम के छोटे दोलनों की प्राकृतिक आवृत्ति .

फलस्वरूप,

रोटेशन के क्षैतिज अक्ष पर चढ़ा हुआ कोई भी पिंड गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र में मुक्त दोलन करने में सक्षम है और इसलिए, एक पेंडुलम भी है। ऐसा पेंडुलम कहा जाता है शारीरिक (चित्र 2.3.2)। यह केवल जनता के वितरण में गणितीय से भिन्न होता है। स्थिर संतुलन की स्थिति में, द्रव्यमान का केंद्र सीभौतिक पेंडुलम अक्ष के माध्यम से ऊर्ध्वाधर गुजरने पर घूर्णन ओ के अक्ष के नीचे है। जब पेंडुलम φ कोण से विचलित होता है, तो गुरुत्वाकर्षण का एक क्षण उत्पन्न होता है, जो पेंडुलम को संतुलन की स्थिति में वापस लाने के लिए प्रवृत्त होता है:

एम = -(मिलीग्रामसिन फाई) डी.

यहां डी- घूर्णन अक्ष तथा द्रव्यमान केंद्र के बीच की दूरी सी.

चित्र 2.3.2। भौतिक पेंडुलम

इस सूत्र में ऋण चिह्न, हमेशा की तरह, का अर्थ है कि बल का क्षण पेंडुलम को संतुलन की स्थिति से इसके विचलन के विपरीत दिशा में मोड़ने की प्रवृत्ति रखता है। गणितीय पेंडुलम के मामले में, वापसी का क्षण एमआनुपातिक। इसका मतलब यह है कि केवल छोटे कोणों पर, जब भौतिक पेंडुलम मुक्त हार्मोनिक दोलन करने में सक्षम होता है। छोटे उतार-चढ़ाव के मामले में

और भौतिक पेंडुलम के लिए न्यूटन का दूसरा नियम रूप लेता है

जहां ε लोलक का कोणीय त्वरण है, मैं- रोटेशन की धुरी के बारे में पेंडुलम की जड़ता का क्षण हे. त्वरण और विस्थापन के बीच आनुपातिकता कारक का मापांक वृत्ताकार आवृत्ति के वर्ग के बराबर होता है:

यहाँ ω 0 - एक भौतिक पेंडुलम के छोटे दोलनों की प्राकृतिक आवृत्ति .

फलस्वरूप,

ω 0 और के लिए सूत्रों की अधिक कठोर व्युत्पत्ति टीकिया जा सकता है यदि हम कोणीय त्वरण और कोणीय विस्थापन के बीच गणितीय संबंध को ध्यान में रखते हैं: कोणीय त्वरण ε समय के संबंध में कोणीय विस्थापन φ का दूसरा व्युत्पन्न है:

इसलिए, भौतिक लोलक के लिए न्यूटन के द्वितीय नियम को व्यक्त करने वाले समीकरण को इस प्रकार लिखा जा सकता है

यह मुक्त हार्मोनिक कंपन का समीकरण है।

इस समीकरण में गुणांक का अर्थ भौतिक पेंडुलम के मुक्त हार्मोनिक दोलनों की परिपत्र आवृत्ति के वर्ग का अर्थ है।

रोटेशन के अक्ष के समानांतर अनुवाद पर प्रमेय के अनुसार (स्टेनर प्रमेय), जड़ता का क्षण मैंजड़त्व के क्षण के संदर्भ में व्यक्त किया जा सकता है मैंसीद्रव्यमान के केंद्र से गुजरने वाली धुरी के बारे में सीपेंडुलम और रोटेशन के समानांतर अक्ष:

अंत में, भौतिक पेंडुलम के मुक्त दोलनों की परिपत्र आवृत्ति ω 0 के लिए, निम्नलिखित अभिव्यक्ति प्राप्त की जाती है:

सेस्क्रीनशॉटखोजप्रो परिभाषायहग्रहों

10.4। हार्मोनिक दोलनों के दौरान ऊर्जा संरक्षण का नियम

10.4.1। पर ऊर्जा का संरक्षण यांत्रिक हार्मोनिक कंपन

गणितीय पेंडुलम के दोलनों के दौरान ऊर्जा का संरक्षण

हार्मोनिक कंपन के साथ, सिस्टम की कुल यांत्रिक ऊर्जा संरक्षित होती है (स्थिर रहती है)।

गणितीय पेंडुलम की कुल यांत्रिक ऊर्जा

ई = डब्ल्यू कश्मीर + डब्ल्यू पी ,

जहाँ W k - गतिज ऊर्जा, W k = = mv 2 /2; डब्ल्यू पी - संभावित ऊर्जा, डब्ल्यू पी = एमजीएच; मी माल का वजन है; जी - मुक्त गिरावट त्वरण मापांक; वी - लोड गति मापांक; h संतुलन स्थिति से ऊपर भार की ऊंचाई है (चित्र 10.15)।

हार्मोनिक दोलनों के साथ, गणितीय पेंडुलम क्रमिक अवस्थाओं की एक श्रृंखला से गुजरता है, इसलिए गणितीय पेंडुलम की ऊर्जा को तीन स्थितियों में देखने की सलाह दी जाती है (चित्र 10.15 देखें):

चावल। 10.15

में 1 संतुलन स्थिति

संभावित ऊर्जा शून्य है; कुल ऊर्जा अधिकतम गतिज ऊर्जा के साथ मेल खाती है:

ई = डब्ल्यूके अधिकतम;

2) में चरम स्थिति(2) शरीर को प्रारंभिक स्तर से अधिकतम ऊँचाई h अधिकतम तक उठाया जाता है, इसलिए संभावित ऊर्जा भी अधिकतम होती है:

डब्ल्यू पी मैक्स = एम जी एच मैक्स;

गतिज ऊर्जा शून्य है; कुल ऊर्जा अधिकतम संभावित ऊर्जा के साथ मेल खाती है:

ई = डब्ल्यू पी मैक्स;

3) में मध्यवर्ती स्थिति(3) पिंड की तात्क्षणिक गति v है और प्रारंभिक स्तर से कुछ ऊँचाई h ऊपर उठाई जाती है, इसलिए कुल ऊर्जा योग है

ई = एम वी 2 2 + एम जी एच ,

जहाँ एमवी 2 /2 - गतिज ऊर्जा; एमजीएच - संभावित ऊर्जा; मी माल का वजन है; जी - मुक्त गिरावट त्वरण मापांक; वी - लोड गति मापांक; h संतुलन स्थिति के ऊपर लोड की ऊंचाई है।

गणितीय पेंडुलम के हार्मोनिक दोलनों के साथ, कुल यांत्रिक ऊर्जा संरक्षित होती है:

ई = कास्ट।

गणितीय पेंडुलम की तीन स्थितियों में कुल ऊर्जा के मान तालिका में दिखाए गए हैं। 10.1।

№	स्थान	डब्ल्यू.पी	सप्त	ई = डब्ल्यू पी + डब्ल्यू के
1	संतुलन	0	एम वी अधिकतम 2/2	एम वी अधिकतम 2/2
2	चरम	एमजीएच मैक्स	0	एमजीएच मैक्स
3	इंटरमीडिएट (तत्काल)	mgh	एमवी 2/2	एमवी 2/2 + एमजीएच

तालिका के अंतिम कॉलम में प्रस्तुत कुल यांत्रिक ऊर्जा के मान। 10.1, पेंडुलम की किसी भी स्थिति के लिए समान मान हैं, जो एक गणितीय अभिव्यक्ति है:

एम वी मैक्स 2 2 = एम जी एच मैक्स;

एम वी मैक्स 2 2 = एम वी 2 2 + एम जी एच;

एम जी एच मैक्स = एम वी 2 2 + एम जी एच ,

जहाँ m माल का भार है; जी - मुक्त गिरावट त्वरण मापांक; v स्थिति 3 में लोड की तात्क्षणिक गति का मॉड्यूल है; h स्थिति 3 में संतुलन स्थिति के ऊपर लोड की ऊंचाई है; वी अधिकतम - स्थिति 1 में अधिकतम लोड गति मॉड्यूल; एच मैक्स - स्थिति 2 में संतुलन की स्थिति के ऊपर भार उठाने की अधिकतम ऊंचाई।

थ्रेड विक्षेपण कोणलंबवत से गणितीय पेंडुलम (चित्र। 10.15) अभिव्यक्ति द्वारा निर्धारित किया जाता है

cos α = l − h l = 1 − h l ,

जहाँ l धागे की लंबाई है; h संतुलन स्थिति के ऊपर लोड की ऊंचाई है।

मैक्स एंगलविचलन α अधिकतम संतुलन स्थिति h अधिकतम के ऊपर लोड की अधिकतम उठाने की ऊँचाई से निर्धारित होता है:

cos α अधिकतम = 1 − h अधिकतम l ।

उदाहरण 11. गणितीय पेंडुलम के छोटे दोलनों की अवधि 0.9 s है। यदि गेंद 1.5 मीटर/सेकेंड की गति से चलती है, तो संतुलन की स्थिति से गुजरते हुए, धागा ऊर्ध्वाधर से किस अधिकतम कोण पर विचलित होगा? सिस्टम में कोई झंझट नहीं है।

समाधान । आंकड़ा गणितीय पेंडुलम के दो पदों को दर्शाता है:

• संतुलन की स्थिति 1 (गेंद वी मैक्स की अधिकतम गति की विशेषता);
• चरम स्थिति 2 (संतुलन स्थिति के ऊपर गेंद एच मैक्स की अधिकतम उठाने की ऊंचाई की विशेषता)।

वांछित कोण समानता द्वारा निर्धारित किया जाता है

cos α अधिकतम = l − h अधिकतम l = 1 − h अधिकतम l ,

जहाँ l पेंडुलम धागे की लंबाई है।

कुल यांत्रिक ऊर्जा के संरक्षण के कानून से संतुलन की स्थिति के ऊपर पेंडुलम गेंद की अधिकतम उठाने की ऊंचाई पाई जा सकती है।

संतुलन की स्थिति में और चरम स्थिति में पेंडुलम की कुल ऊर्जा निम्न सूत्रों द्वारा निर्धारित की जाती है:

• एक संतुलन की स्थिति में

ई 1 \u003d एम वी मैक्स 2 2,

जहाँ m पेंडुलम बॉल का द्रव्यमान है; v अधिकतम - संतुलन स्थिति में गेंद की गति मापांक (अधिकतम गति), v अधिकतम = 1.5 m/s;

• अत्यधिक स्थिति में

ई 2 \u003d एमजीएच मैक्स,

जहां जी मुक्त पतन त्वरण मापांक है; एच मैक्स - संतुलन की स्थिति के ऊपर गेंद की अधिकतम ऊंचाई।

कुल यांत्रिक ऊर्जा के संरक्षण का नियम:

एम वी मैक्स 2 2 = एम जी एच मैक्स।

इससे हम संतुलन की स्थिति के ऊपर गेंद की अधिकतम ऊँचाई को व्यक्त करते हैं:

एच अधिकतम = वी अधिकतम 2 2 जी।

हम गणितीय पेंडुलम की दोलन अवधि के सूत्र से धागे की लंबाई निर्धारित करते हैं

टी = 2 π एल जी ,

वे। धागे की लंबाई

एल = टी 2 जी 4 π 2।

वांछित कोण के कोज्या के लिए व्यंजक में h max और l को प्रतिस्थापित करें:

cos α अधिकतम = 1 − 2 π 2 v अधिकतम 2 g 2 T 2

और अनुमानित समानता π 2 = 10 को ध्यान में रखते हुए गणना करें:

cos α अधिकतम = 1 − 2 ⋅ 10 ⋅ (1.5) 2 10 2 ⋅ (0.9) 2 = 0.5 ।

इससे पता चलता है कि अधिकतम विक्षेपण कोण 60° है।

कड़ाई से बोलते हुए, 60 डिग्री के कोण पर, गेंद के दोलन छोटे नहीं होते हैं, और गणितीय पेंडुलम की दोलन अवधि के लिए मानक सूत्र का उपयोग करना अवैध है।

स्प्रिंग पेंडुलम के दोलनों के दौरान ऊर्जा का संरक्षण

स्प्रिंग पेंडुलम की कुल यांत्रिक ऊर्जागतिज ऊर्जा और संभावित ऊर्जा का योग है:

ई = डब्ल्यू कश्मीर + डब्ल्यू पी ,

जहाँ W k - गतिज ऊर्जा, W k = mv 2 /2; डब्ल्यू पी - संभावित ऊर्जा, डब्ल्यू पी = के (Δx ) 2/2; मी माल का वजन है; वी - लोड गति मापांक; के - वसंत की कठोरता (लोच) का गुणांक; Δx - वसंत का विरूपण (तनाव या संपीड़न) (चित्र। 10.16)।

इंटरनेशनल सिस्टम ऑफ़ यूनिट्स में, मैकेनिकल ऑसिलेटरी सिस्टम की ऊर्जा को जूल (1 J) में मापा जाता है।

हार्मोनिक दोलनों के साथ, एक वसंत पेंडुलम लगातार राज्यों की एक श्रृंखला के माध्यम से जाता है, इसलिए तीन स्थितियों में वसंत पेंडुलम की ऊर्जा पर विचार करने की सलाह दी जाती है (चित्र 10.16 देखें):

में 1 संतुलन स्थिति(1) शरीर की गति का अधिकतम मूल्य v मैक्स है, इसलिए गतिज ऊर्जा भी अधिकतम है:

डब्ल्यू के अधिकतम = एम वी अधिकतम 2 2;

वसंत की संभावित ऊर्जा शून्य है, क्योंकि वसंत विकृत नहीं है; कुल ऊर्जा अधिकतम गतिज ऊर्जा के साथ मेल खाती है:

ई = डब्ल्यूके अधिकतम;

2) में चरम स्थिति(2) वसंत में अधिकतम विरूपण (Δx अधिकतम) होता है, इसलिए संभावित ऊर्जा का भी अधिकतम मूल्य होता है:

डब्ल्यू पी मैक्स \u003d के (Δ एक्स मैक्स) 2 2;

शरीर की गतिज ऊर्जा शून्य है; कुल ऊर्जा अधिकतम संभावित ऊर्जा के साथ मेल खाती है:

ई = डब्ल्यू पी मैक्स;

3) में मध्यवर्ती स्थिति(3) शरीर की तात्कालिक गति v है, वसंत में इस समय कुछ विकृति है (Δx), इसलिए कुल ऊर्जा का योग है

ई \u003d एम वी 2 2 + के (Δ एक्स) 2 2,

जहाँ एमवी 2 /2 - गतिज ऊर्जा; के (Δx ) 2 /2 - संभावित ऊर्जा; मी माल का वजन है; वी - लोड गति मापांक; के - वसंत की कठोरता (लोच) का गुणांक; Δx - वसंत का विरूपण (तनाव या संपीड़न)।

जब स्प्रिंग पेंडुलम का वजन साम्य स्थिति से विस्थापित किया जाता है, तो इससे प्रभावित होता है बहाल बल, जिसका पेंडुलम गति दिशा पर प्रक्षेपण सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है

एफ एक्स = -केएक्स,

जहाँ x स्प्रिंग पेंडुलम भार का संतुलन स्थिति से विस्थापन है, x = ∆x , ∆x स्प्रिंग की विकृति है; के - पेंडुलम वसंत की कठोरता (लोच) का गुणांक।

एक वसंत पेंडुलम के हार्मोनिक दोलनों के साथ, कुल यांत्रिक ऊर्जा संरक्षित होती है:

ई = कास्ट।

इसकी तीन स्थितियों में स्प्रिंग पेंडुलम की कुल ऊर्जा के मान तालिका में दिखाए गए हैं। 10.2।

№	स्थान	डब्ल्यू.पी	सप्त	ई = डब्ल्यू पी + डब्ल्यू के
1	संतुलन	0	एम वी अधिकतम 2/2	एम वी अधिकतम 2/2
2	चरम	के (Δxmax) 2/2	0	के (Δxmax) 2/2
3	इंटरमीडिएट (तत्काल)	के (डीएक्स) 2/2	एमवी 2/2	एमवी 2/2 + के (Δx) 2/2

तालिका के अंतिम कॉलम में प्रस्तुत कुल यांत्रिक ऊर्जा के मूल्यों में पेंडुलम की किसी भी स्थिति के लिए समान मूल्य हैं, जो एक गणितीय अभिव्यक्ति है कुल यांत्रिक ऊर्जा के संरक्षण का नियम:

एम वी अधिकतम 2 2 = के (Δ एक्स अधिकतम) 2 2;

एम वी अधिकतम 2 2 = एम वी 2 2 + के (Δ एक्स) 2 2;

के (Δ एक्स अधिकतम) 2 2 \u003d एम वी 2 2 + के (Δ एक्स) 2 2,

जहाँ m माल का भार है; v स्थिति 3 में लोड की तात्क्षणिक गति का मॉड्यूल है; Δx - स्थिति 3 में वसंत का विरूपण (तनाव या संपीड़न); वी अधिकतम - स्थिति 1 में अधिकतम लोड गति मॉड्यूल; Δx अधिकतम - स्थिति 2 में वसंत का अधिकतम विरूपण (विस्तार या संपीड़न)।

उदाहरण 12. स्प्रिंग लोलक हार्मोनिक दोलन करता है। उस समय इसकी गतिज ऊर्जा कितनी बार संभावित ऊर्जा से अधिक होती है जब संतुलन की स्थिति से शरीर का विस्थापन आयाम का एक चौथाई होता है?

समाधान । आइए स्प्रिंग पेंडुलम की दो स्थितियों की तुलना करें:

• चरम स्थिति 1 (संतुलन स्थिति x अधिकतम से पेंडुलम भार के अधिकतम विस्थापन की विशेषता);
• मध्यवर्ती स्थिति 2 (संतुलन स्थिति x और गति v → से विस्थापन के मध्यवर्ती मूल्यों की विशेषता)।

चरम और मध्यवर्ती स्थिति में पेंडुलम की कुल ऊर्जा निम्न सूत्रों द्वारा निर्धारित की जाती है:

• अत्यधिक स्थिति में

ई 1 \u003d के (Δ एक्स अधिकतम) 2 2,

जहाँ k वसंत की कठोरता (लोच) का गुणांक है; ∆x अधिकतम - दोलन आयाम (संतुलन स्थिति से अधिकतम विस्थापन), ∆x अधिकतम = ए;

• एक मध्यवर्ती स्थिति में

ई 2 \u003d के (Δ एक्स) 2 2 + एम वी 2 2,

जहाँ m पेंडुलम भार का द्रव्यमान है; ∆x - संतुलन स्थिति से भार का विस्थापन, ∆x = A /4।

स्प्रिंग पेंडुलम के लिए कुल यांत्रिक ऊर्जा के संरक्षण के नियम के निम्नलिखित रूप हैं:

k (Δ x अधिकतम) 2 2 = k (Δ x) 2 2 + m v 2 2 ।

हम लिखित समानता के दोनों भागों को k (∆x) 2/2 से विभाजित करते हैं:

(Δ x अधिकतम Δ x) 2 = 1 + m v 2 2 ⋅ 2 k Δ x 2 = 1 + W k W p ,

जहां W k एक मध्यवर्ती स्थिति में पेंडुलम की गतिज ऊर्जा है, W k = mv 2/2; डब्ल्यू पी - एक मध्यवर्ती स्थिति में पेंडुलम की संभावित ऊर्जा, डब्ल्यू पी = के (∆x) 2/2।

आइए हम समीकरण से ऊर्जाओं के वांछित अनुपात को व्यक्त करें:

डब्ल्यू के डब्ल्यू पी = (Δ एक्स अधिकतम Δ एक्स) 2 - 1

और इसके मूल्य की गणना करें:

डब्ल्यू के डब्ल्यू पी = (ए ए / 4) 2 − 1 = 16 − 1 = 15।

संकेतित समय पर, लोलक की गतिज और स्थितिज ऊर्जाओं का अनुपात 15 है।

यदि वसंत (चित्रा 4) से जुड़ा शरीर एक दूरी ए से संतुलन की स्थिति से विचलित हो जाता है, उदाहरण के लिए, बाईं ओर, तो, संतुलन की स्थिति से गुजरने के बाद, यह दाईं ओर विचलित हो जाएगा। यह ऊर्जा के संरक्षण के कानून से अनुसरण करता है।

एक संकुचित या तनी हुई स्प्रिंग की स्थितिज ऊर्जा के बराबर होती है

जहां k वसंत की कठोरता है और x इसकी लम्बाई है। अत्यधिक बाईं स्थिति में, वसंत एक्स \u003d - ए का विस्तार, इसलिए संभावित ऊर्जा है

इस समय गतिज ऊर्जा शून्य के बराबर है, क्योंकि गति शून्य के बराबर है। इसलिए, संभावित ऊर्जा उस समय प्रणाली की कुल यांत्रिक ऊर्जा है। यदि हम मानते हैं कि घर्षण बल शून्य के बराबर है, और अन्य बल संतुलित हैं, तो हमारी प्रणाली को बंद माना जा सकता है और गति के दौरान इसकी कुल ऊर्जा नहीं बदल सकती है। जब पिंड, अपनी गति के दौरान, चरम दायीं स्थिति (x=A) में होता है, तो इसकी गतिज ऊर्जा फिर से शून्य के बराबर होगी और कुल ऊर्जा फिर से संभावित ऊर्जा के बराबर होगी। और कुल ऊर्जा बदल नहीं सकती। तो यह फिर से बराबर है

इसका मतलब यह है कि शरीर ए के बराबर दूरी से दाहिनी ओर विचलित हो जाएगा।

संतुलन की स्थिति में, इसके विपरीत, संभावित ऊर्जा शून्य है, क्योंकि वसंत विकृत नहीं है, x=0। इस स्थिति में शरीर की कुल ऊर्जा उसकी गतिज ऊर्जा के बराबर होती है

जहाँ m पिंड का द्रव्यमान और उसकी गति है (यह इस समय अधिकतम है)। लेकिन इस गतिज ऊर्जा का भी बराबर मूल्य होना चाहिए। इसलिए, दोलन गति के दौरान, गतिज ऊर्जा को संभावित ऊर्जा में परिवर्तित किया जाता है और इसके विपरीत। संतुलन और अधिकतम विचलन की स्थिति के बीच किसी भी बिंदु पर, शरीर में गतिज ऊर्जा और संभावित ऊर्जा दोनों होती हैं, लेकिन उनका योग, यानी शरीर की किसी भी स्थिति में कुल ऊर्जा बराबर होती है। एक दोलनशील पिंड की कुल यांत्रिक ऊर्जा W आयाम और उसके दोलनों के वर्ग के समानुपाती होती है

पेंडुलम। गणितीय पेंडुलम

एक पेंडुलम किसी भी शरीर को निलंबित कर दिया जाता है ताकि गुरुत्वाकर्षण का केंद्र निलंबन के बिंदु से नीचे हो। इसका मतलब यह है कि रस्सी पर लटका हुआ भार दीवार घड़ी के पेंडुलम के समान दोलन प्रणाली है। मुक्त दोलन करने में सक्षम किसी भी प्रणाली में एक स्थिर संतुलन स्थिति होती है। एक पेंडुलम के लिए, यह वह स्थिति है जिस पर गुरुत्वाकर्षण का केंद्र निलंबन बिंदु के नीचे ऊर्ध्वाधर पर होता है। यदि हम पेंडुलम को इस स्थिति से बाहर ले जाते हैं या इसे धक्का देते हैं, तो यह दोलन करना शुरू कर देगा, या तो एक दिशा में या दूसरी संतुलन स्थिति से विचलित हो जाएगा। हम जानते हैं कि संतुलन की स्थिति से सबसे बड़ा विचलन, जिस तक पेंडुलम पहुंचता है, दोलन का आयाम कहलाता है। आयाम प्रारंभिक विक्षेपण या धक्का द्वारा निर्धारित किया जाता है जिसके साथ पेंडुलम गति में सेट किया गया था। यह संपत्ति - आंदोलन की शुरुआत में स्थितियों पर आयाम की निर्भरता - न केवल पेंडुलम के मुक्त दोलनों के लिए, बल्कि सामान्य रूप से बहुत से दोलन प्रणालियों के मुक्त दोलनों के लिए भी विशेषता है।

एक भौतिक पेंडुलम के दोलन की अवधि कई परिस्थितियों पर निर्भर करती है: शरीर के आकार और आकार पर, गुरुत्वाकर्षण के केंद्र और निलंबन के बिंदु के बीच की दूरी पर, और इस बिंदु के सापेक्ष शरीर द्रव्यमान के वितरण पर; इसलिए, निलंबित निकाय की अवधि की गणना करना एक कठिन कार्य है। गणितीय पेंडुलम के लिए स्थिति सरल है। एक गणितीय पेंडुलम एक पतले धागे से लटका हुआ भार है, जिसके आयाम धागे की लंबाई से बहुत कम होते हैं, और इसका द्रव्यमान धागे के द्रव्यमान से अधिक होता है। इसका मतलब यह है कि शरीर (वजन) और धागा ऐसा होना चाहिए कि वजन को भौतिक बिंदु माना जा सके, और धागा भार रहित हो। ऐसे लोलक के अवलोकन से निम्नलिखित सरल नियम स्थापित किए जा सकते हैं।

1. यदि, पेंडुलम की समान लंबाई (भार के गुरुत्वाकर्षण के केंद्र के निलंबन के बिंदु से दूरी) को बनाए रखते हुए, विभिन्न भारों को निलंबित कर दिया जाता है, तो दोलन अवधि समान होगी, हालांकि भार का द्रव्यमान काफी भिन्न। गणितीय पेंडुलम की अवधि भार के द्रव्यमान पर निर्भर नहीं करती है।

2. सिडा, प्रक्षेपवक्र के किसी भी बिंदु पर शरीर पर कार्य करता है, संतुलन की स्थिति के लिए निर्देशित होता है, और संतुलन बिंदु पर ही शून्य के बराबर होता है।

3. बल संतुलन की स्थिति से शरीर के विचलन के समानुपाती होता है।

चावल। 5.

4. यदि, पेंडुलम को शुरू करते समय, इसे अलग-अलग (लेकिन बहुत बड़े नहीं) कोणों से विक्षेपित किया जाता है, तो यह उसी अवधि के साथ अलग-अलग आयामों के साथ दोलन करेगा। जब तक आयाम बहुत बड़े नहीं होते हैं, दोलन उनके रूप में हार्मोनिक के काफी करीब होते हैं, और गणितीय पेंडुलम की अवधि दोलनों के आयाम पर निर्भर नहीं करती है। इस संपत्ति को आइसोक्रोनिज़्म कहा जाता है (ग्रीक शब्द "आइसोस" से - बराबर, "क्रोनोस" - समय)।

यह तथ्य पहली बार 1655 में गैलीलियो द्वारा कथित तौर पर निम्नलिखित परिस्थितियों में स्थापित किया गया था। गैलीलियो ने पीसा कैथेड्रल में एक लंबी श्रृंखला पर एक झूमर (एक रूढ़िवादी चर्च में, एक केंद्रीय झूमर, कई मोमबत्तियों या लैंप के साथ एक दीपक) के झूलते हुए देखा, जो प्रज्वलित होने पर धकेल दिया गया था। सेवा के दौरान, झूलों का आयाम धीरे-धीरे फीका पड़ गया (अध्याय 8), यानी दोलनों का आयाम कम हो गया, लेकिन अवधि समान रही। गैलीलियो ने समय के संकेत के रूप में अपनी नाड़ी का उपयोग किया।

पेंडुलम की यह संपत्ति न केवल अद्भुत, बल्कि उपयोगी भी निकली। गैलीलियो ने घड़ी में पेंडुलम को नियामक के रूप में उपयोग करने का प्रस्ताव दिया। गैलीलियो के समय में घड़ियों को एक वजन द्वारा संचालित किया गया था, और एक अपरिष्कृत पवनचक्की जैसे कोंटरापशन का उपयोग दर को समायोजित करने के लिए किया गया था, जो वायु प्रतिरोध का उपयोग करता था। एक पेंडुलम का उपयोग समय के बराबर अंतराल की गणना करने के लिए किया जा सकता है, क्योंकि हवा के यादृच्छिक झोंकों के कारण छोटे दोलन एक ही समय में होते हैं। गैलीलियो के एक सदी बाद, पेंडुलम घड़ियाँ उपयोग में आईं, लेकिन नाविकों को अभी भी समुद्र में देशांतर मापने के लिए सटीक घड़ियों की आवश्यकता थी। ऐसी समुद्री घड़ी के निर्माण के लिए एक पुरस्कार की घोषणा की गई थी जो समय को पर्याप्त सटीकता के साथ मापने की अनुमति देगा। हैरिसन को एक क्रोनोमीटर के लिए पुरस्कार मिला जिसमें पाठ्यक्रम को विनियमित करने के लिए एक चक्का (संतुलन) और एक विशेष वसंत का उपयोग किया गया था।

अब हम गणितीय पेंडुलम के दोलन की अवधि के लिए एक सूत्र प्राप्त करते हैं।

जब पेंडुलम झूलता है, तो लोड बल बीए (छवि 5, ए) के साथ तेजी से बढ़ता है, जो कि रिटर्निंग बल पी 1 की कार्रवाई के तहत होता है, जो आंदोलन के दौरान बदल जाता है।

किसी अस्थिर बल के प्रभाव में किसी पिंड की गति की गणना अपेक्षाकृत जटिल होती है। इसलिए, सरलता के लिए, हम निम्नानुसार आगे बढ़ेंगे।

आइए हम पेंडुलम को एक विमान में दोलन न करें, लेकिन शंकु का वर्णन करें ताकि भार एक चक्र में चले (चित्र 5, बी)। यह संचलन दो स्वतंत्र स्पंदनों को जोड़कर प्राप्त किया जा सकता है: एक अभी भी आरेखण के तल में और दूसरा लम्बवत तल में। जाहिर है, इन दोनों समतल दोलनों की अवधि समान है, क्योंकि कोई भी दोलन तल किसी अन्य से भिन्न नहीं है। नतीजतन, जटिल आंदोलन की अवधि - शंकु के साथ पेंडुलम का घूर्णन - एक विमान में दोलन की अवधि के समान होगा। प्रत्यक्ष अनुभव द्वारा इस निष्कर्ष को आसानी से चित्रित किया जा सकता है, दो समान पेंडुलम लेकर और उनमें से एक को एक विमान में झूलने के लिए और दूसरे को शंकु के साथ घूमने के लिए कहा जा सकता है।

लेकिन "शंक्वाकार" पेंडुलम की क्रांति की अवधि भार द्वारा वर्णित चक्र की लंबाई के बराबर है, गति से विभाजित:

यदि ऊर्ध्वाधर से विचलन का कोण छोटा है (छोटे आयाम!), तो हम मान सकते हैं कि वापसी बल P 1 को वृत्त BC की त्रिज्या के साथ निर्देशित किया गया है, अर्थात, केन्द्रापसारक बल के बराबर:

दूसरी ओर, त्रिभुज OBC और DBE की समानता से यह पता चलता है कि BE: BD=CB: OB। चूँकि OB=l, CB=r, BE=P 1, तो यहाँ से

दोनों भावों P 1 को एक दूसरे के बराबर करने पर, हम संचलन के वेग के लिए प्राप्त करते हैं

अंत में, इसे टी अवधि के लिए अभिव्यक्ति में प्रतिस्थापित करते हुए, हम पाते हैं

तो, एक गणितीय पेंडुलम की अवधि केवल मुक्त पतन त्वरण g और पेंडुलम l की लंबाई पर निर्भर करती है, अर्थात निलंबन के बिंदु से भार के गुरुत्वाकर्षण के केंद्र तक की दूरी। प्राप्त सूत्र से यह पता चलता है कि पेंडुलम की अवधि उसके द्रव्यमान और आयाम पर निर्भर नहीं करती है (बशर्ते कि यह पर्याप्त रूप से छोटा हो)। दूसरे शब्दों में, वे मूलभूत नियम जो पहले प्रेक्षणों से स्थापित किए गए थे, गणना द्वारा प्राप्त किए गए थे।

लेकिन यह सैद्धांतिक निष्कर्ष हमें और अधिक देता है: यह हमें पेंडुलम की अवधि, इसकी लंबाई और मुक्त पतन के त्वरण के बीच मात्रात्मक संबंध स्थापित करने की अनुमति देता है। एक गणितीय पेंडुलम की अवधि गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण के लिए पेंडुलम की लंबाई के अनुपात के वर्गमूल के समानुपाती होती है। आनुपातिकता का गुणांक 2? के बराबर है।

इस त्वरण को निर्धारित करने का एक बहुत ही सटीक तरीका मुक्त पतन के त्वरण पर पेंडुलम की अवधि की निर्भरता पर आधारित है। पेंडुलम l की लंबाई को मापने और बड़ी संख्या में दोलनों से अवधि T निर्धारित करने के बाद, हम प्राप्त सूत्र का उपयोग करके g की गणना कर सकते हैं। इस पद्धति का व्यापक रूप से व्यवहार में उपयोग किया जाता है।

पेंडुलम दोलन अनुनाद समन्वय

एक हल्के अविस्तारणीय धागे पर लटकी एक छोटी सी गेंद प्रदर्शन करने में सक्षम है नि: शुल्कदोलन गति (चित्र। 598)।

चावल। 598
पेंडुलम की गति का वर्णन करने के लिए, हम गेंद को एक भौतिक बिंदु के रूप में मानेंगे और धागे के द्रव्यमान और वायु प्रतिरोध की उपेक्षा करेंगे। ऐसा मॉडल कहा जाता है गणितीय पेंडुलम.
गेंद की स्थिति का वर्णन करने वाले एक समन्वय के रूप में, हम ऊर्ध्वाधर से धागे के विचलन के कोण को चुनते हैं φ . इस निर्देशांक में परिवर्तन का वर्णन करने के लिए, घूर्णी गति गतिकी के समीकरण का उपयोग करना सुविधाजनक है

कहाँ पे जे = एमएल 2- प्रणाली की जड़ता का क्षण, ε = ∆ω/∆t- शरीर का कोणीय त्वरण (रोटेशन के कोण का दूसरा व्युत्पन्न), एम- सिस्टम पर कार्य करने वाली बाहरी शक्तियों का कुल क्षण 1। गेंद पर गुरुत्व बल mg और धागे का तनाव कार्य करता है। थ्रेड टेंशन पल एननिलंबन बिंदु के संबंध में शून्य है, इसलिए निलंबित गेंद के लिए समीकरण (1) रूप लेता है

या

यह समीकरण एक पेंडुलम के दोलनों का वर्णन करता है, लेकिन हार्मोनिक दोलनों का समीकरण नहीं है, क्योंकि बलों का क्षण विक्षेपण कोण की साइन के समानुपाती होता है, न कि कोण के लिए। हालाँकि, यदि हम विक्षेपण कोणों को छोटा मानते हैं (यह कितना है - हम बाद में पता लगाएंगे), हम अनुमानित सूत्र का उपयोग कर सकते हैं sinφ ≈ φइस सन्निकटन में, समीकरण (3) हार्मोनिक दोलनों के परिचित समीकरण में बदल जाता है

कहाँ पे Ω = √(जी/एल)- पेंडुलम 2 के छोटे दोलनों की परिपत्र आवृत्ति। इस समीकरण का हल हम पहले ही लिख चुके हैं

यहां φ ओ- धागे का अधिकतम विचलन, यानी दोलनों का आयाम। सरलता के लिए, हम मान लेंगे कि गेंद का प्रारंभिक वेग शून्य है।
पेंडुलम के छोटे दोलनों की अवधि को वृत्ताकार आवृत्ति के रूप में व्यक्त किया जाता है

चूंकि गणितीय पेंडुलम के छोटे दोलन हार्मोनिक हैं, उनकी अवधि आयाम पर निर्भर नहीं करती है। इस तथ्य को प्रायोगिक रूप से जी। गैलीलियो ने नोट किया था। बड़े विक्षेपण कोणों पर, गणितीय पेंडुलम की दोलन अवधि थोड़ी बढ़ जाती है।
ध्यान दें कि एक गणितीय पेंडुलम के दोलन की अवधि भी गेंद के द्रव्यमान पर निर्भर नहीं करती है - याद रखें, मुक्त गिरावट का त्वरण, साथ ही पृथ्वी के गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र में शरीर की गति की अन्य विशेषताएं भी निर्भर नहीं करती हैं शरीर के द्रव्यमान पर (यदि, निश्चित रूप से, हम वायु प्रतिरोध की उपेक्षा करते हैं)।
फॉर्मूला (6) का इस्तेमाल किया जा सकता है और गुरुत्वाकर्षण त्वरण को प्रयोगात्मक रूप से निर्धारित करने के लिए इस्तेमाल किया जा रहा है। धागे की लंबाई और दोलनों की अवधि को प्रयोगात्मक रूप से मापना काफी आसान है, फिर सूत्र (6) का उपयोग करके मुक्त गिरावट के त्वरण की गणना करना संभव है।
आइए यांत्रिक ऊर्जा के संरक्षण के कानून का उपयोग करके गणितीय पेंडुलम के आंदोलन का वर्णन करने का प्रयास करें। गेंद की गतिज ऊर्जा सूत्र द्वारा व्यक्त की जाती है

संभावित ऊर्जा संदर्भ का शून्य स्तर धागे के निलंबन बिंदु के साथ संगत है, तो गेंद की संभावित ऊर्जा बराबर होती है

यांत्रिक ऊर्जा के संरक्षण के नियम का समीकरण (प्रारंभिक स्थितियों को ध्यान में रखते हुए) का रूप है

यह समीकरण भी हार्मोनिक कंपन का समीकरण नहीं है। लेकिन, यदि हम फिर से लोलक के विक्षेपण के कोणों को छोटा मानते हैं और सन्निकट सूत्र का उपयोग करते हैं

तब समीकरण (7) हार्मोनिक दोलनों के समीकरण में जाएगा

या

जहां इंगित किया गया है Ω = √(जी/एल)- गतिशील समीकरण (2) से प्राप्त होने वाले दोलनों की परिपत्र आवृत्ति।
बेशक, ऐसा संयोग आकस्मिक नहीं है - वास्तव में, दोनों दृष्टिकोणों में, हमने छोटे विक्षेपण कोणों के समान सन्निकटन का उपयोग किया।

1 सैद्धांतिक रूप से, ट्रांसलेशनल गति की गतिशीलता के समीकरणों का भी उपयोग किया जा सकता है, लेकिन यहां उपयोग किया जाने वाला दृष्टिकोण बेहतर है, क्योंकि बिंदु का प्रक्षेपवक्र एक वृत्त का चाप है।
2 हमने छोटे दोलनों की प्राकृतिक आवृत्ति के लिए पदनाम Ω (यह भी "ओमेगा", केवल पूंजी) चुना है, ताकि पारंपरिक पदनाम ω - गेंद के कोणीय वेग के पीछे रह जाए, जो बाद में हमारे तर्क में दिखाई देगा।