Մաթեմատիկական ճոճանակնյութական կետ է, որը կախված է անկշռելի և անքակտելի թելի վրա, որը գտնվում է Երկրի ձգողության դաշտում։ Մաթեմատիկական ճոճանակը իդեալականացված մոդել է, որը ճիշտ նկարագրում է իրական ճոճանակը միայն որոշակի պայմաններում: Իրական ճոճանակը կարելի է համարել մաթեմատիկական, եթե թելի երկարությունը շատ ավելի մեծ է, քան դրանից կախված մարմնի չափսերը, թելի քաշը մարմնի զանգվածի համեմատ աննշան է, իսկ թելի դեֆորմացիաներն այնքան փոքր են։ որ դրանք կարող են ամբողջովին անտեսվել։

Տվյալ դեպքում տատանողական համակարգը ձևավորվում է թելով, դրան կցված մարմնի և Երկրի միջոցով, առանց որի այս համակարգը չէր կարող ծառայել որպես ճոճանակ։

որտեղ ա Ն.Ս – արագացում, է - ձգողության արագացում, Ն.Ս- օֆսեթ, լՃոճանակի թելի երկարությունն է:

Այս հավասարումը կոչվում է մաթեմատիկական ճոճանակի ազատ տատանումների հավասարումը.Այն ճիշտ է նկարագրում դիտարկվող տատանումները միայն այն դեպքում, երբ կատարվում են հետևյալ ենթադրությունները.

2) դիտարկվում են ճոճանակի միայն փոքր տատանումները փոքր ճոճվող անկյունով:

Ցանկացած համակարգերի ազատ թրթռումները բոլոր դեպքերում նկարագրվում են նմանատիպ հավասարումներով:

Մաթեմատիկական ճոճանակի ազատ տատանումների պատճառներն են.

1. Լարվածության ուժի և ձգողականության ուժի ճոճանակի վրա գործողությունը, որը կանխում է դրա տեղաշարժը հավասարակշռության դիրքից և ստիպում նորից իջնել։

2. Ճոճանակի իներցիան, որի շնորհիվ այն, պահպանելով իր արագությունը, չի կանգնում հավասարակշռության դիրքում, այլ անցնում է ավելի հեռուն։

Մաթեմատիկական ճոճանակի ազատ տատանումների ժամանակաշրջան

Մաթեմատիկական ճոճանակի ազատ տատանումների ժամանակաշրջանը կախված չէ նրա զանգվածից, այլ որոշվում է միայն թելի երկարությամբ և ձգողականության արագացմամբ այն վայրում, որտեղ գտնվում է ճոճանակը։

Էներգիայի փոխակերպում ներդաշնակ թրթռումներով

Զսպանակային ճոճանակի ներդաշնակ տատանումների ժամանակ առաձգականորեն դեֆորմացված մարմնի պոտենցիալ էներգիան վերածվում է նրա կինետիկ էներգիայի, որտեղ. կ – առաձգականության գործակից, NS -ճոճանակի տեղափոխման մոդուլը հավասարակշռության դիրքից, մճոճանակի զանգվածն է, vդրա արագությունն է: Հարմոնիկ թրթռման հավասարման համաձայն.

, .

Զսպանակային ճոճանակի ընդհանուր էներգիան.

.

Ընդհանուր էներգիան մաթեմատիկական ճոճանակի համար.

Մաթեմատիկական ճոճանակի դեպքում

Էներգիայի փոխակերպումները զսպանակային ճոճանակի տատանումների ժամանակ տեղի են ունենում մեխանիկական էներգիայի պահպանման օրենքի համաձայն ( ): Երբ ճոճանակը շարժվում է ներքև կամ վերև հավասարակշռության դիրքից, նրա պոտենցիալ էներգիան մեծանում է, մինչդեռ կինետիկ էներգիան նվազում է: Երբ ճոճանակն անցնում է հավասարակշռության դիրքը ( Ն.Ս= 0), նրա պոտենցիալ էներգիան զրոյական է, իսկ ճոճանակի կինետիկ էներգիան ունի ամենամեծ արժեքը՝ հավասար նրա ընդհանուր էներգիային։

Այսպիսով, ճոճանակի ազատ տատանումների գործընթացում նրա պոտենցիալ էներգիան վերածվում է կինետիկի, կինետիկը՝ պոտենցիալի, պոտենցիալը այնուհետև նորից կինետիկի և այլն։ Բայց ընդհանուր մեխանիկական էներգիան մնում է անփոփոխ։

Հարկադիր թրթռումներ. Ռեզոնանս.

Արտաքին պարբերական ուժի ազդեցությամբ տեղի ունեցող տատանումները կոչվում են հարկադրված երկմտանք... Արտաքին պարբերական ուժը, որը կոչվում է ստիպել, լրացուցիչ էներգիա է հաղորդում տատանողական համակարգին, որն օգտագործվում է շփման արդյունքում էներգիայի կորուստները լրացնելու համար։ Եթե ​​շարժիչ ուժը ժամանակի ընթացքում փոխվում է սինուսի կամ կոսինուսի օրենքի համաձայն, ապա հարկադիր տատանումները կլինեն ներդաշնակ և անխոնջ:

Ի տարբերություն ազատ տատանումների, երբ համակարգը էներգիա է ստանում միայն մեկ անգամ (երբ համակարգը հանվում է հավասարակշռության վիճակից), հարկադիր տատանումների դեպքում համակարգը շարունակաբար կլանում է այդ էներգիան արտաքին պարբերական ուժի աղբյուրից։ Այս էներգիան լրացնում է շփման հաղթահարման վրա ծախսված կորուստները, և հետևաբար ոչ տատանողական համակարգի ընդհանուր էներգիան մնում է անփոփոխ:

Հարկադիր թրթռումների հաճախականությունը հավասար է շարժիչ ուժի հաճախականությանը... Այն դեպքում, երբ շարժիչ ուժի հաճախականությունը υ համընկնում է տատանվող համակարգի բնական հաճախականության հետ υ 0 , կա հարկադիր տատանումների ամպլիտուդի կտրուկ աճ. ռեզոնանս. Ռեզոնանսը առաջանում է այն պատճառով, որ երբ υ = υ 0 Արտաքին ուժը, որը ժամանակին գործում է ազատ տատանումներով, միշտ ուղղորդվում է տատանվող մարմնի արագության հետ և դրական աշխատանք է կատարում. տատանվող մարմնի էներգիան մեծանում է, և նրա տատանումների ամպլիտուդը մեծանում է։ Հարկադիր թրթռումների ամպլիտուդության կախվածության գրաֆիկը Ա Տ շարժիչ ուժի հաճախականության վրա υ Նկարում ներկայացված այս գրաֆիկը կոչվում է ռեզոնանսային կոր.

Ռեզոնանսային ֆենոմենը կարևոր դեր է խաղում մի շարք բնական, գիտական ​​և արդյունաբերական գործընթացներում։ Օրինակ, բեռի տակ թրթռում ապրող կամուրջներ, շենքեր և այլ կառույցներ նախագծելիս անհրաժեշտ է հաշվի առնել ռեզոնանսի երևույթը, այլապես որոշակի պայմաններում այդ կառույցները կարող են ոչնչացվել:

Մաթեմատիկական ճոճանակ կոչվում է փոքր չափի մարմին՝ կախված բարակ անքակտելի թելի վրա, որի զանգվածը մարմնի զանգվածի համեմատ աննշան է։ Հավասարակշռության դիրքում, երբ ճոճանակը կախված է գծի երկայնքով, ձգողականության ուժը հավասարակշռվում է թելի լարվածության ուժով: Երբ ճոճանակը հավասարակշռության դիրքից շեղվում է որոշակի անկյան տակ φ, ձգողականության ուժի շոշափող բաղադրիչը: հայտնվում է Ֆ τ = - մգ sin φ (նկ. 2.3.1): Այս բանաձևում մինուս նշանը նշանակում է, որ շոշափող բաղադրիչն ուղղված է ճոճանակի շեղմանը հակառակ ուղղությամբ:

Եթե ​​նշանակենք դրանով xճոճանակի գծային տեղաշարժը հավասարակշռության դիրքից շառավղով շրջանագծի աղեղի երկայնքով լ, ապա նրա անկյունային տեղաշարժը հավասար կլինի φ = x / լ... Նյուտոնի երկրորդ օրենքը, որը գրված է շոշափողի ուղղությամբ արագացման և ուժի վեկտորների կանխատեսումների համար, տալիս է.

Այս հարաբերությունը ցույց է տալիս, որ մաթեմատիկական ճոճանակը բարդ է ոչ գծայինհամակարգ, քանի որ ուժը, որը ձգտում է ճոճանակը վերադարձնել հավասարակշռության դիրքի, համաչափ է ոչ թե տեղաշարժին x, ա

Միայն այն դեպքումփոքր տատանումներ երբ մոտավորապեսկարելի է փոխարինելմաթեմատիկական ճոճանակը ներդաշնակ տատանվող է, այսինքն՝ ներդաշնակ տատանումներ կատարելու ընդունակ համակարգ։ Գործնականում այս մոտարկումը վավեր է 15-20 ° կարգի անկյունների համար; այս դեպքում արժեքը տարբերվում է ոչ ավելի, քան 2%: Մեծ ամպլիտուդներով ճոճանակի տատանումները ներդաշնակ չեն։

Մաթեմատիկական ճոճանակի փոքր տատանումների համար Նյուտոնի երկրորդ օրենքը գրված է ձևով.

Այսպիսով, շոշափող արագացումը աճոճանակի τ համաչափ է նրա տեղաշարժը xվերցված հակառակ նշանով. Սա հենց այն պայմանն է, որի դեպքում համակարգը ներդաշնակ տատանվող է: Որպես ընդհանուր կանոն բոլոր համակարգերի համար, որոնք ունակ են կատարել ազատ ներդաշնակ տատանումներ, արագացման և հավասարակշռության դիրքից տեղաշարժի համաչափության գործակցի մոդուլը հավասար է անկյունային հաճախության քառակուսուն.

Այս բանաձեւը արտահայտում է մաթեմատիկական ճոճանակի փոքր տատանումների բնական հաճախականությունը .

Հետևաբար,

Պտտման հորիզոնական առանցքի վրա տեղադրված ցանկացած մարմին ունակ է ազատ տատանումներ կատարել գրավիտացիոն դաշտում և, հետևաբար, նաև ճոճանակ է։ Նման ճոճանակ սովորաբար կոչվում է ֆիզիկական (նկ. 2.3.2): Այն տարբերվում է մաթեմատիկականից միայն զանգվածների բաշխմամբ։ Կայուն հավասարակշռության դիրքում՝ զանգվածի կենտրոն Գֆիզիկական ճոճանակը գտնվում է O պտտման առանցքի տակ՝ առանցքի միջով անցնող ուղղահայաց վրա: Երբ ճոճանակը շեղվում է φ անկյան տակ, առաջանում է ձգողականության պահ, որը ձգտում է ճոճանակը վերադարձնել հավասարակշռության դիրքի.

Մ = -(մգմեղք φ) դ.

Այստեղ դ- պտտման առանցքի և զանգվածի կենտրոնի միջև հեռավորությունը Գ.

Նկար 2.3.2. Ֆիզիկական ճոճանակ

Այս բանաձևում մինուս նշանը, ինչպես միշտ, նշանակում է, որ ուժերի պահը ձգտում է ճոճանակը շրջել հավասարակշռության դիրքից նրա շեղմանը հակառակ ուղղությամբ: Ինչպես մաթեմատիկական ճոճանակի դեպքում՝ վերադարձնելով պահը Մհամամասնական. Սա նշանակում է, որ միայն փոքր անկյուններում, երբ ֆիզիկական ճոճանակն ի վիճակի է կատարել ազատ ներդաշնակ տատանումներ: Փոքր տատանումների դեպքում

և Նյուտոնի երկրորդ օրենքը ֆիզիկական ճոճանակի համար ստանում է ձև

որտեղ ε-ն ճոճանակի անկյունային արագացումն է, Ի- ճոճանակի իներցիայի պահը պտտման առանցքի նկատմամբ Օ... Արագացման և տեղաշարժի միջև համաչափության գործոնի մոդուլը հավասար է անկյունային հաճախության քառակուսուն.

Այստեղ ω 0 - ֆիզիկական ճոճանակի փոքր տատանումների բնական հաճախականությունը .

Հետևաբար,

ω 0-ի և Տկարելի է անել, եթե հաշվի առնենք մաթեմատիկական կապը անկյունային արագացման և անկյունային տեղաշարժի միջև. անկյունային արագացումը ε-ն անկյունային շարժման φ երկրորդ ածանցյալն է ժամանակի նկատմամբ.

Հետևաբար, Նյուտոնի երկրորդ օրենքը ֆիզիկական ճոճանակի համար արտահայտող հավասարումը կարող է գրվել ձևով

Սա ազատ ներդաշնակ թրթռումների հավասարումն է։

Այս հավասարման գործակիցն ունի ֆիզիկական ճոճանակի ազատ ներդաշնակ տատանումների շրջանաձև հաճախության քառակուսու նշանակությունը։

Պտտման առանցքի զուգահեռ փոխանցման թեորեմով (Շտայների թեորեմ) իներցիայի մոմենտը. Իկարելի է արտահայտել իներցիայի պահով ԻԳզանգվածի կենտրոնով անցնող առանցքի շուրջ Գճոճանակ և պտտման առանցքին զուգահեռ.

Վերջապես, ֆիզիկական ճոճանակի ազատ տատանումների ω 0 շրջանաձև հաճախության համար ստացվում է հետևյալ արտահայտությունը.

ՀԵՏքրինշոտորոնումսահմանման մասինգնամոլորակներ

10.4. Էներգիայի պահպանման օրենքը ներդաշնակ թրթռումների համար

10.4.1. Էներգիայի պահպանում ժամը մեխանիկական ներդաշնակ թրթռումներ

Էներգիայի պահպանում մաթեմատիկական ճոճանակի տատանումների ժամանակ

Ներդաշնակ թրթռումներով համակարգի ընդհանուր մեխանիկական էներգիան պահպանվում է (մնում է հաստատուն)։

Մաթեմատիկական ճոճանակի ընդհանուր մեխանիկական էներգիան

E = W k + W p,

որտեղ W k - կինետիկ էներգիա, W k = = mv 2/2; W p - պոտենցիալ էներգիա, W p = mgh; m-ը բեռի զանգվածն է. g - ազատ անկման արագացման մոդուլ; v - բեռի արագության մոդուլ; h - բեռի բարձրացման բարձրությունը հավասարակշռության դիրքից (նկ. 10.15):

Հարմոնիկ թրթռումներով մաթեմատիկական ճոճանակն անցնում է մի շարք հաջորդական վիճակների միջով, հետևաբար, նպատակահարմար է մաթեմատիկական ճոճանակի էներգիան դիտարկել երեք դիրքով (տես Նկ.10.15).

Բրինձ. 10.15

1) մեջ հավասարակշռության դիրքը

պոտենցիալ էներգիան զրո է; ընդհանուր էներգիան համընկնում է առավելագույն կինետիկ էներգիայի հետ.

E = W k max;

2) մեջ ծայրահեղ դիրք(2) մարմինը բարձրացվում է սկզբնական մակարդակից մինչև առավելագույն բարձրությունը h max, ուստի պոտենցիալ էներգիան նույնպես առավելագույն է.

W p max = m g h max;

կինետիկ էներգիան զրոյական է; ընդհանուր էներգիան համընկնում է առավելագույն պոտենցիալ էներգիայի հետ.

E = W p max;

3) մեջ միջանկյալ դիրք(3) մարմինն ունի ակնթարթային արագություն v և բարձրանում է սկզբնական մակարդակից մինչև որոշակի բարձրություն h, հետևաբար, ընդհանուր էներգիան գումարն է։

E = m v 2 2 + մ գ ժ,

որտեղ mv 2/2 - կինետիկ էներգիա; մգհ - պոտենցիալ էներգիա; m-ը բեռի զանգվածն է. g - ազատ անկման արագացման մոդուլ; v - բեռի արագության մոդուլ; h-ը հավասարակշռության դիրքից վեր բարձրացող բեռի բարձրությունն է:

Մաթեմատիկական ճոճանակի ներդաշնակ տատանումներով ընդհանուր մեխանիկական էներգիան պահպանվում է.

E = կոնստ.

Մաթեմատիկական ճոճանակի ընդհանուր էներգիայի արժեքները երեք դիրքերում արտացոլված են աղյուսակում: 10.1.

№	Դիրք	W p	Վ կ	E = W p + W k
1	Հավասարակշռություն	0	m v max 2/2	m v max 2/2
2	Ծայրահեղ	մգժ առավելագույնը	0	մգժ առավելագույնը
3	Միջանկյալ (ակնթարթային)	մգհ	mv 2/2	մվ 2/2 + մգժ

Աղյուսակի վերջին սյունակում ներկայացված ընդհանուր մեխանիկական էներգիայի արժեքները: 10.1, ունեն հավասար արժեքներ ճոճանակի ցանկացած դիրքի համար, որը մաթեմատիկական արտահայտություն է.

m v max 2 2 = m g h max;

m v max 2 2 = m v 2 2 + m g h;

մ գ ժ առավելագույն = մ v 2 2 + մ գ ժ,

որտեղ m-ը բեռի զանգվածն է. g - ազատ անկման արագացման մոդուլ; v-ը 3-րդ դիրքում բեռի ակնթարթային արագության մոդուլն է. h - 3-րդ դիրքում հավասարակշռության դիրքից բեռի բարձրացման բարձրությունը. v max - բեռի առավելագույն արագության մոդուլ 1-ին դիրքում; h max-ը բեռի առավելագույն բարձրացման բարձրությունն է 2-րդ դիրքում գտնվող հավասարակշռության դիրքից:

Թելերի շեղման անկյունըմաթեմատիկական ճոճանակը ուղղահայացից (նկ.10.15) որոշվում է արտահայտությամբ

cos α = l - h l = 1 - h l,

որտեղ l-ը թելի երկարությունն է; h-ը հավասարակշռության դիրքից վեր բարձրացող բեռի բարձրությունն է:

Առավելագույն անկյունα max շեղումը որոշվում է բեռի առավելագույն բարձրացման բարձրությամբ հավասարակշռության դիրքից h max.

cos α max = 1 - h max l.

Օրինակ 11. Մաթեմատիկական ճոճանակի փոքր տատանումների պարբերությունը 0,9 վ է: Ուղղահայացից ո՞ր առավելագույն անկյան տակ կշեղվի թելը, եթե, անցնելով հավասարակշռության դիրքով, գնդակը շարժվի 1,5 մ/վ արագությամբ: Համակարգում շփում չկա.

Լուծում. Նկարը ցույց է տալիս մաթեմատիկական ճոճանակի երկու դիրք.

• հավասարակշռության դիրք 1 (բնորոշվում է գնդակի առավելագույն արագությամբ v max);
• ծայրահեղ դիրք 2 (բնութագրվում է գնդակի առավելագույն բարձրությամբ h max հավասարակշռության դիրքից բարձր):

Ցանկալի անկյունը որոշվում է հավասարությամբ

cos α max = l - h max l = 1 - h max l,

որտեղ l-ը ճոճանակի թելի երկարությունն է:

Ընդհանուր մեխանիկական էներգիայի պահպանման օրենքից մենք գտնում ենք, որ ճոճանակի գնդակի առավելագույն բարձրությունը հավասարակշռության դիրքից բարձր է:

Ճոճանակի ընդհանուր էներգիան հավասարակշռության և ծայրահեղ դիրքում որոշվում է հետևյալ բանաձևերով.

• հավասարակշռության դիրքում -

E 1 = m v max 2 2,

որտեղ m-ը ճոճանակի գնդակի զանգվածն է. v max-ը գնդակի արագության մոդուլն է հավասարակշռության դիրքում (առավելագույն արագություն), v max = 1,5 մ / վ;

• ծայրահեղ դիրքում -

E 2 = մգժ մաքս,

որտեղ g-ը գրավիտացիոն արագացման մոդուլն է. h max-ը գնդակի առավելագույն բարձրությունն է հավասարակշռության դիրքից:

Ընդհանուր մեխանիկական էներգիայի պահպանման օրենքը.

m v max 2 2 = m g h max.

Այստեղից եկեք արտահայտենք գնդակի առավելագույն բարձրությունը հավասարակշռության դիրքից.

h max = v max 2 2 գ.

Թելի երկարությունը որոշվում է մաթեմատիկական ճոճանակի տատանումների ժամանակաշրջանի բանաձևից

T = 2 π լ գ,

դրանք. թելի երկարությունը

l = T 2 g 4 π 2:

Փոխարինեք h max-ը և l-ը ցանկալի անկյան կոսինուսի արտահայտության մեջ.

cos α max = 1 - 2 π 2 v max 2 g 2 T 2

և մենք կկատարենք հաշվարկը` հաշվի առնելով π 2 = 10 մոտավոր հավասարությունը:

cos α max = 1 - 2 ⋅ 10 ⋅ (1.5) 2 10 2 ⋅ (0.9) 2 = 0.5:

Դրանից բխում է, որ շեղման առավելագույն անկյունը 60 ° է:

Խստորեն ասած, 60 ° անկյան տակ, գնդակի տատանումները փոքր չեն, և անտեղի է օգտագործել ստանդարտ բանաձևը մաթեմատիկական ճոճանակի տատանումների ժամանակաշրջանի համար:

Էներգիայի պահպանում զսպանակային ճոճանակի տատանումների ժամանակ

Զսպանակային ճոճանակի ընդհանուր մեխանիկական էներգիանբաղկացած է կինետիկ էներգիայից և պոտենցիալ էներգիայից.

E = W k + W p,

որտեղ W k - կինետիկ էներգիա, W k = mv 2/2; W p - պոտենցիալ էներգիա, W p = k (Δx) 2/2; m-ը բեռի զանգվածն է. v - բեռի արագության մոդուլ; k - աղբյուրի կոշտության (առաձգականության) գործակիցը; Δx - աղբյուրի դեֆորմացիա (լարում կամ սեղմում) (նկ. 10.16):

Միավորների միջազգային համակարգում մեխանիկական տատանողական համակարգի էներգիան չափվում է ջոուլներով (1 Ջ)։

Հարմոնիկ թրթռումներով զսպանակային ճոճանակն անցնում է մի շարք հաջորդական վիճակների միջով, հետևաբար խորհուրդ է տրվում զսպանակային ճոճանակի էներգիան դիտարկել երեք դիրքով (տես Նկ.10.16).

1) մեջ հավասարակշռության դիրքը(1) մարմնի արագությունն ունի առավելագույն արժեք v max, ուստի կինետիկ էներգիան նույնպես առավելագույն է.

W k max = m v max 2 2;

աղբյուրի պոտենցիալ էներգիան զրո է, քանի որ զսպանակը դեֆորմացված չէ. ընդհանուր էներգիան համընկնում է առավելագույն կինետիկ էներգիայի հետ.

E = W k max;

2) մեջ ծայրահեղ դիրք(2) զսպանակն ունի առավելագույն դեֆորմացիա (Δx max), ուստի պոտենցիալ էներգիան ունի նաև առավելագույն արժեք.

W p max = k (Δ x max) 2 2;

մարմնի կինետիկ էներգիան զրո է. ընդհանուր էներգիան համընկնում է առավելագույն պոտենցիալ էներգիայի հետ.

E = W p max;

3) մեջ միջանկյալ դիրք(3) մարմինն ունի ակնթարթային արագություն v, զսպանակն այս պահին ունի որոշակի դեֆորմացիա (Δx), հետևաբար ընդհանուր էներգիան գումարն է.

E = m v 2 2 + k (Δ x) 2 2,

որտեղ mv 2/2 - կինետիկ էներգիա; k (Δx) 2/2 - պոտենցիալ էներգիա; m-ը բեռի զանգվածն է. v - բեռի արագության մոդուլ; k - աղբյուրի կոշտության (առաձգականության) գործակիցը; Δx - աղբյուրի դեֆորմացիա (լարում կամ սեղմում):

Երբ զսպանակային ճոճանակի բեռը տեղափոխվում է հավասարակշռության դիրքից, դրա վրա գործում է. ուժի վերականգնում, որի պրոյեկցիան ճոճանակի շարժման ուղղությամբ որոշվում է բանաձևով

F x = −kx,

որտեղ x-ը զսպանակի ճոճանակի քաշի տեղաշարժն է հավասարակշռության դիրքից, x = ∆x, ∆x զսպանակի դեֆորմացիան. k - ճոճանակի զսպանակի կոշտության (առաձգականության) գործակիցը:

Զսպանակային ճոճանակի ներդաշնակ տատանումներով ընդհանուր մեխանիկական էներգիան պահպանվում է.

E = կոնստ.

Զսպանակային ճոճանակի ընդհանուր էներգիայի արժեքները երեք դիրքերում ներկայացված են աղյուսակում: 10.2.

№	Դիրք	W p	Վ կ	E = W p + W k
1	Հավասարակշռություն	0	m v max 2/2	m v max 2/2
2	Ծայրահեղ	k (Δx max) 2/2	0	k (Δx max) 2/2
3	Միջանկյալ (ակնթարթային)	k (Δx) 2/2	mv 2/2	mv 2/2 + k (Δx) 2/2

Աղյուսակի վերջին սյունակում ներկայացված ընդհանուր մեխանիկական էներգիայի արժեքները հավասար արժեքներ ունեն ճոճանակի ցանկացած դիրքի համար, որը մաթեմատիկական արտահայտություն է։ ընդհանուր մեխանիկական էներգիայի պահպանման օրենքը:

m v max 2 2 = k (Δ x max) 2 2;

m v max 2 2 = m v 2 2 + k (Δ x) 2 2;

k (Δ x max) 2 2 = m v 2 2 + k (Δ x) 2 2,

որտեղ m-ը բեռի զանգվածն է. v-ը 3-րդ դիրքում բեռի ակնթարթային արագության մոդուլն է. Δx - աղբյուրի դեֆորմացիա (լարում կամ սեղմում) 3-րդ դիրքում; v max - բեռի առավելագույն արագության մոդուլ 1-ին դիրքում; Δx max - աղբյուրի առավելագույն դեֆորմացիա (լարում կամ սեղմում) 2-րդ դիրքում:

Օրինակ 12. Զսպանակային ճոճանակը կատարում է ներդաշնակ տատանումներ: Քանի՞ անգամ է նրա կինետիկ էներգիան մեծ պոտենցիալից այն պահին, երբ մարմնի տեղաշարժը հավասարակշռության դիրքից ամպլիտուդի քառորդն է:

Լուծում. Եկեք համեմատենք զսպանակային ճոճանակի երկու դիրքերը.

• ծայրահեղ դիրք 1 (բնութագրվում է ճոճանակի բեռի առավելագույն տեղաշարժով հավասարակշռության դիրքից x max);
• միջանկյալ դիրք 2 (բնորոշվում է x հավասարակշռության դիրքից տեղաշարժի միջանկյալ արժեքներով և v → արագությամբ):

Ճոճանակի ընդհանուր էներգիան ծայրահեղ և միջանկյալ դիրքերում որոշվում է հետևյալ բանաձևերով.

• ծայրահեղ դիրքում -

E 1 = k (Δ x max) 2 2,

որտեղ k-ն աղբյուրի կոշտության (առաձգականության) գործակիցն է. ∆x max - թրթռման ամպլիտուդ (առավելագույն տեղաշարժ հավասարակշռության դիրքից), ∆x max = A;

• միջանկյալ դիրքում -

E 2 = k (Δ x) 2 2 + m v 2 2,

որտեղ m-ը ճոճանակի բեռի զանգվածն է. ∆x - բեռի տեղաշարժը հավասարակշռության դիրքից, ∆x = A / 4:

Զսպանակային ճոճանակի մեխանիկական էներգիայի պահպանման ընդհանուր օրենքը հետևյալն է.

k (Δ x max) 2 2 = k (Δ x) 2 2 + m v 2 2.

Գրված հավասարության երկու կողմերը բաժանում ենք k (∆x) 2/2-ի.

(Δ x max Δ x) 2 = 1 + m v 2 2 ⋅ 2 k Δ x 2 = 1 + W k W p,

որտեղ W k-ը ճոճանակի կինետիկ էներգիան է միջանկյալ դիրքում, W k = mv 2/2; W p-ը ճոճանակի պոտենցիալ էներգիան է միջանկյալ դիրքում, W p = k (∆x) 2/2:

Եկեք արտահայտենք պահանջվող էներգիայի հարաբերակցությունը հավասարումից.

W k W p = (Δ x max Δ x) 2 - 1

և հաշվարկել դրա արժեքը.

W k W p = (A A / 4) 2 - 1 = 16 - 1 = 15:

Նշված ժամանակում ճոճանակի կինետիկ և պոտենցիալ էներգիաների հարաբերակցությունը 15 է։

Եթե ​​զսպանակին կցված մարմինը (Նկար 4) հավասարակշռության դիրքից A հեռավորությամբ շեղված է, օրինակ՝ դեպի ձախ, ապա այն, անցնելով հավասարակշռության դիրքով, կշեղվի դեպի աջ։ Սա բխում է էներգիայի պահպանման օրենքից։

Սեղմված կամ ձգված զսպանակի պոտենցիալ էներգիան է

որտեղ k-ը զսպանակի կոշտությունն է, իսկ x՝ երկարացումը: Ծայրահեղ ձախ դիրքում զսպանակի երկարացումը x = - A, հետևաբար, պոտենցիալ էներգիան է

Կինետիկ էներգիան այս պահին հավասար է զրոյի, քանի որ արագությունը հավասար է զրոյի։ Սա նշանակում է, որ պոտենցիալ էներգիան այս պահին համակարգի ընդհանուր մեխանիկական էներգիան է։ Եթե ​​համաձայնենք, որ շփման ուժը զրոյական է, իսկ մյուս ուժերը հավասարակշռված են, ապա մեր համակարգը կարելի է համարել փակ, և նրա ընդհանուր էներգիան չի կարող փոխվել շարժման ընթացքում։ Երբ իր շարժման մեջ գտնվող մարմինը գտնվում է ծայրահեղ աջ դիրքում (x = A), նրա կինետիկ էներգիան կրկին հավասար կլինի զրոյի, իսկ ընդհանուր էներգիան կրկին հավասար է պոտենցիալին: Իսկ ընդհանուր էներգիան չի կարող փոխվել: Այսպիսով, այն կրկին հավասար է

Սա նշանակում է, որ մարմինը Ա-ին հավասար հեռավորությամբ կշեղվի աջ։

Հավասարակշռության դիրքում, ընդհակառակը, պոտենցիալ էներգիան զրո է, քանի որ զսպանակը դեֆորմացված չէ, x = 0: Այս դիրքում մարմնի ընդհանուր էներգիան հավասար է նրա կինետիկ էներգիային

որտեղ m-ը մարմնի զանգվածն է և նրա արագությունն է (այս պահին այն առավելագույնն է): Բայց այս կինետիկ էներգիան նույնպես պետք է հավասար արժեք ունենա։ Հետևաբար, տատանողական շարժման ժամանակ տեղի է ունենում կինետիկ էներգիայի վերափոխումը պոտենցիալ էներգիայի և հակառակը։ Հավասարակշռության և առավելագույն շեղման դիրքերի միջև ցանկացած կետում մարմինն ունի և՛ կինետիկ էներգիա, և՛ պոտենցիալ, բայց դրանց գումարը, այսինքն. մարմնի ցանկացած դիրքում ընդհանուր էներգիան հավասար է. Տատանվող մարմնի W ընդհանուր մեխանիկական էներգիան համաչափ է ամպլիտուդի քառակուսու և նրա տատանումների.

Ճոճանակներ. Մաթեմատիկական ճոճանակ

Ճոճանակը ցանկացած մարմին է, որը կախված է այնպես, որ նրա ծանրության կենտրոնը գտնվում է կախման կետից ցածր: Սա նշանակում է, որ ճոպանի վրա կախված բեռը տատանողական համակարգ է, որը նման է պատի ժամացույցի ճոճանակին։ Ցանկացած համակարգ, որն ունակ է ազատ թրթռումների, ունի կայուն հավասարակշռության դիրք: Ճոճանակի համար սա այն դիրքն է, որտեղ ծանրության կենտրոնը գտնվում է կախովի կետից ներքև գտնվող ուղղահայաց վրա: Եթե ​​ճոճանակը հանենք այս դիրքից կամ հրենք, ապա այն կսկսի տատանվել՝ հավասարակշռության դիրքից այս կամ այն ​​ուղղությամբ շեղվելով։ Մենք գիտենք, որ հավասարակշռության դիրքից ամենամեծ շեղումը, որին հասնում է ճոճանակը, կոչվում է տատանումների ամպլիտուդ: Ամպլիտուդը որոշվում է սկզբնական շեղումով կամ հրումով, որով ճոճանակը դրվել է շարժման մեջ։ Այս հատկությունը՝ ամպլիտուդի կախվածությունը շարժման սկզբի պայմաններից, բնորոշ է ոչ միայն ճոճանակի ազատ տատանումներին, այլ ընդհանրապես շատ տատանողական համակարգերի ազատ տատանումներին։

Ֆիզիկական ճոճանակի տատանումների ժամանակահատվածը կախված է բազմաթիվ հանգամանքներից՝ մարմնի չափից և ձևից, ծանրության կենտրոնի և կախման կետի միջև հեռավորությունից և մարմնի քաշի բաշխումից այս կետի նկատմամբ. հետեւաբար, կասեցված մարմնի ժամկետը հաշվարկելը բավականին բարդ խնդիր է։ Իրավիճակն ավելի պարզ է մաթեմատիկական ճոճանակի համար։ Մաթեմատիկական ճոճանակը բարակ թելից կախված կշիռ է, որի չափերը շատ ավելի քիչ են, քան թելի երկարությունը, իսկ մանանայի զանգվածն ավելի մեծ է, քան թելի զանգվածը։ Սա նշանակում է, որ մարմինը (բեռը) և թելը պետք է այնպիսին լինեն, որ ծանրաբեռնվածությունը նյութական կետ համարվի, իսկ թելը անկշիռ լինի։ Նման ճոճանակների դիտարկումներից կարելի է հաստատել հետևյալ պարզ օրենքները.

1. Եթե, պահպանելով ճոճանակի նույն երկարությունը (կախման կետից մինչև բեռի ծանրության կենտրոնի հեռավորությունը), կասեցվեն տարբեր կշիռներ, ապա տատանման ժամանակահատվածը կլինի նույնը, թեև կշիռների զանգվածները մեծապես տարբերվում են. . Մաթեմատիկական ճոճանակի ժամանակահատվածը կախված չէ բեռի զանգվածից:

2. Սիդան, ազդելով մարմնի վրա հետագծի ցանկացած կետում, ուղղված է դեպի հավասարակշռության դիրքը, իսկ հավասարակշռության կետում ինքնին հավասար է զրոյի։

3. Ուժը համաչափ է մարմնի հավասարակշռության դիրքից շեղմանը:

Բրինձ. 5.

4. Եթե ճոճանակն սկսելիս այն շեղենք տարբեր (բայց ոչ շատ մեծ) անկյուններով, ապա այն կտատանվի նույն պարբերությամբ, թեկուզ տարբեր ամպլիտուդներով։ Քանի դեռ ամպլիտուդները չափազանց մեծ չեն, տատանումները իրենց տեսքով բավական մոտ են ներդաշնակությանը, և մաթեմատիկական ճոճանակի պարբերությունը կախված չէ տատանումների ամպլիտուդից։ Այս հատկությունը կոչվում է isochronism (հունարեն «isos» - հավասար, «chronos» - ժամանակ բառերից):

Այս փաստն առաջին անգամ հաստատվել է 1655 թվականին Գալիլեոյի կողմից՝ իբր հետևյալ հանգամանքներում. Գալիլեոն Պիզայի տաճարում նկատեց ջահի (ուղղափառ եկեղեցում կենտրոնական ջահ, բազմաթիվ մոմերով լամպեր կամ սրբապատկերներով լամպեր) ճոճվող երկար շղթայի վրա, որը հրվում էր, երբ բռնկվում էր: Աստվածային ծառայության ժամանակ ճոճանակի ճոճանակը աստիճանաբար խամրեց (Գլուխ 8), այսինքն՝ ճոճանակի ամպլիտուդը նվազել է, բայց ժամանակաշրջանը մնացել է նույնը։ Գալիլեոն օգտագործել է սեփական զարկերակը որպես ժամանակի ցուցիչ։

Ճոճանակի այս հատկությունը ոչ միայն զարմանալի է, այլեւ օգտակար։ Գալիլեոն առաջարկեց ճոճանակ օգտագործել որպես ժամացույցի կարգավորիչ: Գալիլեյի ժամանակ ժամացույցները սնվում էին կշռով, և հարվածը կարգավորելու համար օգտագործվում էր այնպիսի կոպիտ սարք, ինչպիսին հողմաղացի շեղբերն էր, որն օգտագործում էր օդի դիմադրությունը: Ճոճանակը կարող է օգտագործվել հավասար ժամանակային միջակայքերը հաշվելու համար, քանի որ փոքր տատանումները տեղի են ունենում միաժամանակ, ինչ մեծերը, որոնք առաջանում են քամու պատահական պոռթկումներից: Գալիլեոյից մեկ դար անց գործարկվեցին ճոճանակային ժամացույցները, սակայն ծովայիններին դեռևս անհրաժեշտ էին ճշգրիտ ժամացույցներ՝ ծովում երկայնությունը չափելու համար։ Մրցանակ հայտարարվեց այնպիսի ծովային ժամացույցի ստեղծման համար, որը թույլ կտա ժամանակը չափել բավարար ճշգրտությամբ։ Մրցանակը ստացել է Գարիսոնը քրոնոմետրի համար, որն օգտագործել է ճանճ (հավասարակշռություն) և հատուկ զսպանակ՝ հարվածը կարգավորելու համար։

Այժմ բերենք մաթեմատիկական ճոճանակի տատանումների ժամանակաշրջանի բանաձևը:

Երբ ճոճանակը ճոճվում է, բեռը շարժվում է արագացված VA աղեղով (նկ. 5, ա) հետադարձ ուժի P 1 գործողության ներքո, որը փոխվում է շարժման ընթացքում:

Մարմնի շարժման հաշվարկը ոչ մշտական ​​ուժի ազդեցության տակ բավականին բարդ է։ Հետևաբար, պարզության համար մենք կշարունակենք հետևյալը.

Ստիպենք ճոճանակին կատարել ոչ թե տատանումներ մեկ հարթության մեջ, այլ նկարագրել կոնը, որպեսզի բեռը շարժվի շրջանագծի մեջ (նկ. 5, բ): Այս շարժումը կարելի է ձեռք բերել երկու անկախ թրթռումների ավելացման արդյունքում՝ մեկը՝ դեռ գծագրի հարթությունում, իսկ մյուսը՝ ուղղահայաց հարթությունում։ Ակնհայտ է, որ այս երկու հարթության տատանումների ժամանակաշրջանները նույնն են, քանի որ ցանկացած տատանումների հարթություն ոչնչով չի տարբերվում մյուսներից: Հետևաբար, բարդ շարժման շրջանը՝ ճոճանակի պտույտը կոնի երկայնքով, կլինի նույնը, ինչ մեկ հարթությունում ճոճվելու ժամանակաշրջանը։ Այս եզրակացությունը կարելի է հեշտությամբ պատկերացնել ուղղակի փորձի միջոցով՝ վերցնելով երկու նույնական ճոճանակներ և նրանցից մեկին ասելով, որ ճոճվի հարթության մեջ, իսկ մյուսին պտտվի կոնի երկայնքով:

Բայց «կոնաձև» ճոճանակի պտույտի ժամանակահատվածը հավասար է բեռնվածքով նկարագրված շրջանագծի երկարությանը, որը բաժանված է արագությամբ.

Եթե ​​ուղղահայացից շեղման անկյունը փոքր է (փոքր ամպլիտուդներ), ապա կարող ենք ենթադրել, որ վերադարձող ուժը P 1 ուղղված է BC շրջանագծի շառավղով, այսինքն, այն հավասար է կենտրոնաձիգ ուժին.

Մյուս կողմից, OBC և DBE եռանկյունների նմանությունից հետևում է, որ BE՝ BD = CB: OB։ Քանի որ OB = l, CB = r, BE = P 1, հետևաբար

Р 1 արտահայտություններն էլ իրար հավասարեցնելով՝ ստանում ենք շրջանառության արագություն

Վերջապես, սա փոխարինելով T ժամկետի արտահայտությամբ՝ մենք գտնում ենք

Այսպիսով, մաթեմատիկական ճոճանակի պարբերությունը կախված է միայն g ծանրության արագացումից և ճոճանակի երկարությունից l, այսինքն՝ կախվածության կետից մինչև բեռի ծանրության կենտրոն հեռավորությունը։ Ստացված բանաձևից հետևում է, որ ճոճանակի պարբերությունը կախված չէ նրա զանգվածից և ամպլիտուդից (պայմանով, որ այն բավականաչափ փոքր է)։ Այսինքն՝ այն հիմնական օրենքները, որոնք ավելի վաղ սահմանվել են դիտարկումներից, ստացվել են հաշվարկով։

Բայց այս տեսական եզրակացությունը մեզ ավելին է տալիս. այն թույլ է տալիս մեզ քանակական կապ հաստատել ճոճանակի պարբերության, նրա երկարության և ձգողության արագացման միջև: Մաթեմատիկական ճոճանակի պարբերությունը համաչափ է ճոճանակի երկարության և ձգողության արագացման հարաբերակցության քառակուսի արմատին: Տեսողության հարաբերակցությունը 2 է?

Ճոճանակի պարբերության կախվածությունը ձգողության արագացումից այս արագացումը որոշելու շատ ճշգրիտ միջոց է։ Չափելով l ճոճանակի երկարությունը և մեծ թվով տատանումներից որոշելով T ժամանակահատվածը՝ կարող ենք հաշվարկել՝ օգտագործելով ստացված g բանաձևը: Այս մեթոդը լայնորեն կիրառվում է գործնականում։

ճոճանակի տատանումների ռեզոնանսային կոորդինատ

Թեթև չընդլայնվող թելի վրա կախված փոքրիկ գնդիկը ունակ է գործելու անվճարտատանողական շարժում (նկ. 598):

բրինձ. 598 թ
Ճոճանակի շարժումը նկարագրելու համար մենք գնդակը կդիտարկենք որպես նյութական կետ՝ անտեսելով թելի զանգվածը և օդի դիմադրությունը։ Այս մոդելը կոչվում է մաթեմատիկական ճոճանակ.
Որպես գնդակի դիրքը նկարագրող կոորդինատ՝ ուղղահայացից ընտրում ենք թելի շեղման անկյունը։ φ ... Այս կոորդինատի փոփոխությունը նկարագրելու համար հարմար է օգտագործել պտտվող շարժման դինամիկայի հավասարումը.

որտեղ J = մլ 2- համակարգի իներցիայի պահը, ε = Δω / Δt- մարմնի անկյունային արագացումը (պտտման անկյան երկրորդ ածանցյալը), Մ- համակարգի վրա գործող արտաքին ուժերի ընդհանուր պահը 1. Գնդակի վրա գործում է ձգողականության մգ և թելի լարվածությունը: Թելի ձգման ոլորող մոմենտ ՆԿախման կետի նկատմամբ հավասար է զրոյի, հետևաբար, կախված գնդակի համար (1) հավասարումը ձևավորվում է.

կամ

Այս հավասարումը նկարագրում է ճոճանակի տատանումները, բայց դա ներդաշնակ տատանումների հավասարում չէ, քանի որ ուժերի մոմենտը համաչափ է շեղման անկյան սինուսին, և ոչ թե բուն անկյան: Այնուամենայնիվ, եթե շեղման անկյունները փոքր համարենք (որքանը կիմանանք հետո), ապա կարող ենք օգտագործել մոտավոր բանաձևը. sinφ ≈ φԱյս մոտավորմամբ հավասարումը (3) վերածվում է ներդաշնակ տատանումների ծանոթ հավասարման.

որտեղ Ω = √ (գ / լ)- ճոճանակի փոքր տատանումների շրջանաձև հաճախականությունը 2. Մենք արդեն գրել ենք այս հավասարման լուծումը

այստեղ φ o- թելի առավելագույն շեղումը, այսինքն, թրթռման ամպլիտուդը: Պարզության համար մենք կենթադրենք, որ գնդակի սկզբնական արագությունը զրոյական է:
Ճոճանակի փոքր տատանումների ժամանակաշրջանն արտահայտվում է անկյունային հաճախականությամբ

Քանի որ մաթեմատիկական ճոճանակի փոքր տատանումները ներդաշնակ են, դրանց պարբերությունը կախված չէ ամպլիտուդից։ Այս փաստը փորձնականորեն նշել է Գ.Գալիլեոն։ Շեղման մեծ անկյուններում մաթեմատիկական ճոճանակի տատանումների ժամանակաշրջանը փոքր-ինչ մեծանում է։
Նկատի ունեցեք, որ մաթեմատիկական ճոճանակի տատանումների ժամանակաշրջանը նույնպես կախված չէ գնդակի զանգվածից. հիշեք, որ գրավիտացիայի արագացումը, ինչպես նաև մարմնի շարժման այլ բնութագրերը Երկրի գրավիտացիոն դաշտում, նույնպես կախված չեն զանգվածից։ մարմնի (եթե, իհարկե, մենք անտեսում ենք օդի դիմադրությունը):
Բանաձևը (6) կարող է օգտագործվել և օգտագործվում է փորձնականորեն որոշելու ձգողության արագացումը։ Թելերի երկարությունը և տատանման ժամանակաշրջանը կարելի է հեշտությամբ չափել փորձարարական եղանակով, այնուհետև, օգտագործելով (6) բանաձևը, կարելի է հաշվարկել ձգողության արագացումը:
Փորձենք նկարագրել մաթեմատիկական ճոճանակի շարժումը՝ օգտագործելով մեխանիկական էներգիայի պահպանման օրենքը։ Գնդակի կինետիկ էներգիան արտահայտվում է բանաձևով

Պոտենցիալ էներգիայի հղման զրոյական մակարդակը համատեղելի է թելի կասեցման կետի հետ, ապա գնդակի պոտենցիալ էներգիան

Մեխանիկական էներգիայի պահպանման օրենքի հավասարումները (հաշվի առնելով սկզբնական պայմանները) ունեն ձև.

Այս հավասարումը նույնպես ներդաշնակ թրթիռային հավասարում չէ: Բայց եթե նորից ընդունենք ճոճանակի շեղման անկյունները փոքր և օգտագործենք մոտավոր բանաձևը.

ապա հավասարումը (7) անցնում է ներդաշնակ թրթռումների հավասարմանը

կամ

որտեղ նշված է Ω = √ (գ / լ)- շրջանաձև թրթռման հաճախականությունը, որը համընկնում է դինամիկ (2) հավասարումից ստացված հաճախականության հետ։
Իհարկե, այս զուգադիպությունը պատահական չէ. փաստորեն, երկու մոտեցումներում էլ մենք օգտագործել ենք փոքր շեղման անկյունների նույն մոտարկումը։

1 Սկզբունքորեն, կարող են օգտագործվել նաև թարգմանական շարժման դինամիկայի հավասարումները, սակայն այստեղ կիրառվող մոտեցումը նախընտրելի է, քանի որ կետի հետագիծը շրջանագծի աղեղ է:
2 Մենք ընտրել ենք Ω նշումը (սա նաև «օմեգա» է, միայն մեծատառով) փոքր տատանումների բնական հաճախականության համար, որպեսզի ω ավանդական նշանակումը մնա գնդակի անկյունային արագությունից, որը հետագայում կհայտնվի մեր հիմնավորման մեջ։ .