Le théorème de l'énergie cinétique est le travail de la force. Université d'État des arts de l'imprimerie de Moscou. Énergie potentielle d'interaction du corps avec la Terre

Le travail de la résultante de toutes les forces appliquées au corps est égal au changement de l'énergie cinétique du corps.

Ce théorème est vrai non seulement pour le mouvement de translation d'un corps rigide, mais aussi dans le cas de son mouvement arbitraire.

L'énergie cinétique n'est possédée que par les corps en mouvement, c'est pourquoi on l'appelle l'énergie du mouvement.

§ 8. Forces conservatrices (potentielles).

Le domaine des forces conservatrices

Def.

Les forces, dont le travail ne dépend pas du chemin le long duquel le corps s'est déplacé, mais sont déterminées uniquement par les positions initiale et finale du corps, sont appelées forces conservatrices (potentielles).

Def.

Le champ de forces est une zone de l'espace, en chaque point de laquelle une force agit sur un corps qui y est placé, qui change régulièrement de point en point dans l'espace.

Def.

Un champ qui ne change pas dans le temps est appelé stationnaire.

Les 3 affirmations suivantes peuvent être prouvées

1) Le travail des forces conservatrices sur tout chemin fermé est égal à 0.

Preuve:

2) Le champ uniforme des forces est conservateur.

Def.

Un champ est dit homogène si en tous les points du champ les forces agissant sur le corps qui y est placé sont les mêmes en amplitude et direction.

Preuve:

3) Le champ des forces centrales, dans lequel la grandeur de la force ne dépend que de la distance au centre, est conservateur.

Def.

Le champ des forces centrales est un champ de force, en chaque point duquel une force agit sur un corps ponctuel qui s'y déplace, dirigé le long d'une ligne passant par le même point fixe - le centre du champ.

Dans le cas général, un tel champ de forces centrales n'est pas conservateur. Si, dans le champ des forces centrales, l'amplitude de la force dépend uniquement de la distance au centre du champ de force (O), c'est-à-dire , alors un tel champ est conservateur (potentiel).

Preuve:

où est la primitive.

§ 9. Énergie potentielle.

Le lien entre la force et l'énergie potentielle

dans le domaine des forces conservatrices

Choisissons l'origine des coordonnées par le champ des forces conservatrices, i.e.

L'énergie potentielle du corps dans le domaine des forces conservatrices. Cette fonction est déterminée de manière unique (ne dépend que des coordonnées), car le travail des forces conservatrices ne dépend pas du type de chemin.

Trouvons une connexion dans le domaine des forces conservatrices lorsque le corps se déplace du point 1 au point 2.

Le travail des forces conservatrices est égal au changement d'énergie potentielle de signe opposé.

L'énergie potentielle d'un corps du champ de forces conservatrices est l'énergie due à la présence d'un champ de force résultant d'une certaine interaction d'un corps donné avec un corps externe (corps), qui, comme on dit, crée un champ de force.

L'énergie potentielle du champ des forces conservatrices caractérise la capacité du corps à faire un travail et est numériquement égale au travail des forces conservatrices pour déplacer le corps vers l'origine (ou vers un point d'énergie nulle). Cela dépend du choix du niveau zéro et peut être négatif. Dans tous les cas, et donc pour le travail élémentaire c'est vrai, i.e. ou, où est la projection de la force sur la direction du mouvement ou du déplacement élémentaire. Par conséquent, . Car on peut déplacer le corps dans n'importe quelle direction, c'est vrai dans n'importe quelle direction. La projection d'une force conservatrice sur une direction arbitraire est égale à la dérivée de l'énergie potentielle dans cette direction avec le signe opposé.

Compte tenu de la décomposition des vecteurs et de la base, on obtient que

Par contre, il est connu de l'analyse mathématique que le différentiel total d'une fonction de plusieurs variables est égal à la somme des produits de dérivées partielles par rapport aux arguments par les différentiels des arguments, i.e. , et donc de la relation que nous obtenons

Pour un enregistrement plus compact de ces ratios, vous pouvez utiliser le concept de gradient d'une fonction.

Def.

Le gradient d'une fonction scalaire de coordonnées est un vecteur avec des coordonnées égales aux dérivées partielles correspondantes de cette fonction.

Dans notre cas

Def.

La surface équipotentielle est le lieu des points dans le champ des forces conservatrices, les valeurs d'énergie potentielle dans lesquelles sont les mêmes, c'est-à-dire ...

Car de la définition d'une surface équipotentielle il s'ensuit que pour les points de cette surface, alors comme dérivée d'une constante, donc.

Ainsi, la force conservatrice est toujours perpendiculaire à la surface équipotentielle et est orientée vers la diminution de l'énergie potentielle. (P 1\u003e P 2\u003e P 3).

§ 10. Énergie potentielle d'interaction.

Systèmes mécaniques conservateurs

Prenons un système de deux particules en interaction. Laissez les forces de leur interaction être centrales et l'ampleur de la force dépend de la distance entre les particules (ces forces sont des forces de Coulomb gravitationnelles et électriques). Il est clair que les forces d'interaction entre deux particules sont internes.

En tenant compte de la troisième loi de Newton (), nous obtenons, i.e. le travail des forces internes d'interaction de deux particules est déterminé par le changement de la distance entre elles.

Le même travail serait fait si la première particule était au repos à l'origine, et la seconde recevait un déplacement égal à l'incrément de son vecteur de rayon, c'est-à-dire que le travail effectué par les forces internes peut être calculé en supposant qu'une particule est immobile, et la seconde se déplaçant dans le champ des forces centrales, dont la grandeur est uniquement déterminée par la distance entre les particules. Dans la section 8, nous avons prouvé que le champ de telles forces (c'est-à-dire le champ des forces centrales, dans lequel l'ampleur de la force ne dépend que de la distance au centre) est conservateur, ce qui signifie que leur travail peut être considéré comme une diminution de l'énergie potentielle (déterminée, selon la section 9, pour le champ des forces conservatrices).

Dans le cas considéré, cette énergie est due à l'interaction de deux particules qui composent un système fermé. On l'appelle l'énergie potentielle d'interaction (ou énergie potentielle mutuelle). Cela dépend également du choix du niveau zéro et peut être négatif.

Def.

Un système mécanique de solides, dont les forces internes sont conservatrices, est appelé un système mécanique conservateur.

On peut montrer que l'énergie potentielle d'interaction d'un système conservateur de N particules est composée des énergies potentielles d'interaction de particules prises par paires, ce que l'on peut imaginer.

Où est l'énergie potentielle d'interaction de deux particules i-th et j-th. Les indices i et j dans la somme prennent des valeurs indépendantes 1,2,3, ..., N.Tenant compte du fait que la même énergie potentielle d'interaction des particules i-ème et j-ème entre elles, alors lors de la somme de l'énergie se multipliera par 2, à la suite de quoi un coefficient apparaît devant la somme. Dans le cas général, l'énergie potentielle d'interaction d'un système de N particules dépendra de la position ou des coordonnées de toutes les particules. Il est facile de voir que l'énergie potentielle d'une particule dans le domaine des forces conservatrices est une sorte d'énergie potentielle d'interaction d'un système de particules, puisque le champ de force est le résultat d'une interaction des corps les uns avec les autres.

§ 11. La loi de conservation de l'énergie en mécanique.

Laissez un corps rigide se déplacer en translation sous l'action de forces conservatrices et non conservatrices, c'est-à-dire cas général. Puis la résultante de toutes les forces agissant sur le corps. Le travail est la résultante de toutes les forces dans ce cas.

Par le théorème de l'énergie cinétique, et en tenant également compte de cela, nous obtenons

Énergie mécanique totale du corps

Si donc. C'est l'enregistrement mathématique de la loi de conservation de l'énergie en mécanique pour un corps individuel.

Formulation de la loi de conservation de l'énergie:

L'énergie mécanique totale du corps ne change pas en l'absence du travail de forces non conservatrices.

Pour un système mécanique de N particules, il est facile de montrer que (*) a lieu.

Où

La première somme ici est l'énergie cinétique totale du système de particules.

Le second est l'énergie potentielle totale des particules dans le champ externe des forces conservatrices

Le troisième est l'énergie potentielle d'interaction des particules du système entre elles.

Les deuxième et troisième sommes représentent l'énergie potentielle totale du système.

Le travail des forces non conservatrices se compose de deux termes, qui représentent le travail des forces non conservatrices internes et externes.

Comme dans le cas du mouvement d'un corps séparé, pour un système mécanique de N corps, si, alors, et la loi de conservation de l'énergie dans le cas général d'un système mécanique se lit:

L'énergie mécanique totale d'un système de particules qui ne sont que sous l'influence de forces conservatrices est conservée.

Ainsi, en présence de forces non conservatrices, l'énergie mécanique totale n'est pas conservée.

Les forces non conservatrices sont, par exemple, la force de frottement, la force de résistance et d'autres forces dont les actions provoquent la désination de l'énergie (la transition de l'énergie mécanique en chaleur).

Les forces conduisant à la désinication sont appelées desinatives. Certaines forces ne sont pas nécessairement dissidentes.

La loi de conservation de l'énergie est universelle et s'applique non seulement aux phénomènes mécaniques, mais également à tous les processus de la nature. La quantité totale d'énergie dans un système isolé de corps et de champs reste toujours constante. L'énergie ne peut passer que d'une forme à une autre.

Compte tenu de cette égalité

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Énergie cinétique.

Une propriété inaliénable de la matière est le mouvement. Diverses formes de mouvement de la matière sont capables de transformations mutuelles qui, comme cela a été établi, se produisent dans des proportions quantitatives strictement définies. L'énergie est une mesure unique de diverses formes de mouvement et types d'interaction d'objets matériels.

L'énergie dépend des paramètres de l'état du système, ᴛ.ᴇ. de telles quantités physiques qui caractérisent certaines propriétés essentielles du système. L'énergie, qui dépend de deux paramètres vectoriels qui caractérisent l'état mécanique du système, à savoir, le vecteur rayon qui détermine la position d'un corps par rapport à l'autre et la vitesse qui détermine la vitesse de déplacement du corps dans l'espace, est appelée mécanique.

En mécanique classique, il semble possible de décomposer l'énergie mécanique en deux termes, chacun dépendant d'un seul paramètre:

où est l'énergie potentielle, en fonction de l'emplacement relatif des corps en interaction; - l'énergie cinétique, en fonction de la vitesse de déplacement du corps dans l'espace.

L'énergie mécanique des corps macroscopiques ne peut changer que par le travail.

Trouvons une expression de l'énergie cinétique du mouvement de translation d'un système mécanique. Il vaut la peine de dire que tout d'abord, considérons un point matériel avec une masse m... Supposons que sa vitesse à un moment donné t est égal. Définissons le travail de la force résultante agissant sur un point matériel pendant un certain temps:

Considérant que basé sur la définition du produit scalaire

où est l'initiale et est la vitesse finale du point.

La quantité

il est d'usage d'appeler l'énergie cinétique d'un point matériel.

A l'aide de ce concept, la relation (4.12) peut s'écrire sous la forme

De (4.14) il résulte que l'énergie a la même dimension que le travail et, par conséquent, est mesurée dans les mêmes unités.

Τᴀᴋᴎᴍ ᴏϬᴩᴀᴈᴏᴍ, le travail de la résultante de toutes les forces agissant sur un point matériel est égal à l'incrément de l'énergie cinétique de ce point. Notez que l'incrément d'énergie cinétique peut être positif ou négatif, selon le signe, le travail effectué (la force peut soit accélérer soit ralentir le mouvement du corps). Cette déclaration est généralement appelée le théorème de l'énergie cinétique.

Le résultat obtenu peut être facilement généralisé au cas du mouvement de translation d'un système arbitraire de points matériels. Il est courant d'appeler l'énergie cinétique d'un système la somme des énergies cinétiques des points matériels dont ce système est constitué. Suite à l'addition des relations (4.13) pour chaque point matériel du système, nous obtenons à nouveau la formule (4.13), mais déjà pour le système de points matériels:

où m - la masse de l'ensemble du système.

Notez qu'il existe une différence significative entre le théorème de l'énergie cinétique (la loi sur le changement d'énergie cinétique) et la loi sur le changement de la quantité de mouvement du système. Comme vous le savez, l'incrément de l'élan du système n'est déterminé que par des forces externes. Les forces internes, en raison de l'égalité d'action et de réaction, ne changent pas l'impulsion du système. Ce n'est pas le cas de l'énergie cinétique. D'une manière générale, le travail des forces internes ne s'évanouit pas. Par exemple, lorsque deux points matériels se déplacent, interagissant l'un avec l'autre par les forces d'attraction, chacune des forces fera un travail positif et l'énergie cinétique de l'ensemble du système augmentera positivement. Par conséquent, l'augmentation de l'énergie cinétique est déterminée par le travail des forces non seulement externes, mais également internes.

- Théorème d'énergie cinétique

Une intégrale curviligne du 2ème type, dont le calcul, en règle générale, est plus facile que le calcul d'une intégrale curviligne du 1er type. Le pouvoir de la force est appelé le travail de la force par unité de temps. Puisque dans un temps infiniment petit dt la force fait le travail dA \u003d fsds \u003d fdr, alors la puissance ...

Ce sujet sera consacré à la résolution de problèmes de calcul de l'énergie cinétique d'un corps et à l'application du théorème d'énergie cinétique.

Objectif 1. Un corps de 10 kg se déplace le long d'un axe À PROPOSx sous l'influence d'une force constante. La figure montre un graphique de la dépendance temporelle de la projection de la vitesse du corps sur cet axe. Déterminer l'énergie cinétique du corps au moment du temps 4 s.

Objectif 2. Quel est le travail des forces de résistance lorsqu'un véhicule de 3 tonnes est arrêté de se déplacer à une vitesse de 54 km / h?

Objectif 3. Un corps de 2,5 kg est soumis à une force de 5 N pendant 3 s. Déterminez l'énergie cinétique du corps à ce moment si sa vitesse initiale est nulle.

Problème 4. Un corps d'une masse de 12 kg frappe de manière absolument inélastique contre un corps de moindre masse. Si un corps avec une masse plus petite était au repos avant l'impact et que la fraction de l'énergie cinétique perdue après l'impact était de 14%, alors quelle est la masse du corps plus petit?

Tâche 5. Sur une section horizontale de 500 m de long, la vitesse du train passe de 15 m / s à 20 m / s. La locomotive développe une force de traction constante de 4 ∙ 10 6 N. Déterminer la masse du train si le coefficient de frottement entre les roues et les rails est de 0,07.

L'énergie cinétique d'un point matériel est exprimée par la moitié du produit de la masse de ce point par le carré de sa vitesse.

Le théorème sur l'énergie cinétique d'un point matériel peut être exprimé sous trois formes:

c'est-à-dire que le différentiel de l'énergie cinétique d'un point matériel est égal au travail élémentaire de la force agissant sur ce point;

c'est-à-dire que la dérivée temporelle de l'énergie cinétique d'un point matériel est égale à la puissance de la force agissant sur ce point:

c'est-à-dire que le changement de l'énergie cinétique d'un point matériel sur le chemin final est égal au travail de la force agissant sur le point sur le même chemin.

Tableau 17. Classification des tâches

Si plusieurs forces agissent sur un point, alors les côtés droits des équations incluent le travail ou la puissance de la résultante de ces forces, qui est égale à la somme du travail ou des puissances de toutes les forces constituantes.

Dans le cas d'un mouvement rectiligne d'un point, en dirigeant l'axe le long d'une droite le long de laquelle se déplace le point, on a:

où, puisque dans ce cas la résultante de toutes les forces appliquées au point est dirigée le long de l'axe x.

En appliquant le théorème sur l'énergie cinétique dans le cas du mouvement non libre d'un point matériel, il faut garder à l'esprit ce qui suit: si une contrainte stationnaire parfaite est imposée au point (le point se déplace le long d'une surface ou d'une ligne fixe absolument lisse), alors la réaction de contrainte n'entre pas dans les équations, car cette réaction est dirigée le long normal à la trajectoire du point et, par conséquent, son travail est nul. Si le frottement doit être pris en compte, l'équation d'énergie cinétique comprendra le travail ou la puissance de la force de frottement.

Les tâches liées à cette section peuvent être divisées en deux types principaux.

I. Problèmes d'application du théorème d'énergie cinétique pour le mouvement rectiligne d'un point.

II. Problèmes sur l'application du théorème d'énergie cinétique pour le mouvement curviligne d'un point.

De plus, les tâches de type I peuvent être divisées en trois groupes:

1) la force agissant sur le point (ou la résultante de plusieurs forces) est constante, c'est-à-dire où X est la projection de la force (ou de la résultante) sur l'axe dirigé le long de la trajectoire rectiligne du point;

2) la force agissant sur un point (ou résultante) est fonction de la distance (abscisse de ce point), c'est-à-dire

3) la force agissant sur un point (ou résultante) est fonction de la vitesse de ce point, c'est-à-dire

Les tâches de type II peuvent être divisées en trois groupes:

1) la force agissant sur le point (ou la résultante) est constante à la fois en amplitude et en direction (par exemple, la force de poids);

2) la force agissant sur un point (ou résultante) est fonction de la position de ce point (fonction des coordonnées du point);

3) déplacement d'un point en présence de forces de résistance.

La valeur scalaire T, égale à la somme des énergies cinétiques de tous les points du système, est appelée énergie cinétique du système.

L'énergie cinétique est une caractéristique du mouvement de translation et de rotation du système. Son changement est influencé par l'action de forces externes, et comme il s'agit d'un scalaire, il ne dépend pas de la direction de mouvement des parties du système.

Trouvons l'énergie cinétique pour différents cas de mouvement:

1. Mouvement de translation

Les vitesses de tous les points du système sont égales à la vitesse du centre de masse. ensuite

L'énergie cinétique du système en mouvement de translation est égale à la moitié du produit de la masse du système par le carré de la vitesse du centre de masse.

2. Mouvement de rotation (fig.77)

La vitesse de n'importe quel point sur le corps:. ensuite

ou en utilisant la formule (15.3.1):

L'énergie cinétique d'un corps en rotation est égale à la moitié du produit du moment d'inertie du corps par rapport à l'axe de rotation par le carré de sa vitesse angulaire.

3. Mouvement parallèle au plan

Avec un mouvement donné, l'énergie cinétique est la somme de l'énergie des mouvements de translation et de rotation

Le cas général du mouvement donne une formule de calcul de l'énergie cinétique, similaire à cette dernière.

Nous avons fait la définition du travail et de la puissance au paragraphe 3 du chapitre 14. Ici, nous allons considérer des exemples de calcul du travail et de la puissance des forces agissant sur un système mécanique.

1. Le travail de la gravité... Soit, les coordonnées de la position initiale et finale du point k du corps. Le travail de la force de gravité agissant sur cette particule de poids sera ... Ensuite, le travail complet est:

où P est le poids du système de points matériels, est le déplacement vertical du centre de gravité C.

2. Travail des forces appliquées à un corps en rotation.

Selon la relation (14.3.1), il peut être écrit, mais ds selon la Fig.74, en raison de son infinie petitesse, peut être représenté sous la forme - un angle de rotation infiniment petit du corps. ensuite

La quantité appelé couple.

Nous réécrivons la formule (19.1.6) comme

Le travail élémentaire est égal au produit du couple et de la rotation élémentaire.

En tournant vers un angle final, nous avons:

Si le couple est constant, alors

et la puissance est déterminée à partir de la relation (14.3.5)

comme le produit du couple et de la vitesse angulaire du corps.

Le théorème sur le changement d'énergie cinétique prouvé pour un point (§ 14.4) sera valable pour tout point du système

En composant de telles équations pour tous les points du système et en les ajoutant terme par terme, on obtient:

ou, selon (19.1.1):

qui est l'expression du théorème sur l'énergie cinétique du système sous forme différentielle.

En intégrant (19.2.2) on obtient:

Le théorème sur le changement de l'énergie cinétique sous la forme finale: le changement de l'énergie cinétique du système avec une partie de son déplacement final est égal à la somme des travaux sur ce déplacement de toutes les forces externes et internes appliquées au système.

Soulignons que les forces internes ne sont pas exclues. Pour un système immuable, la somme du travail de toutes les forces internes est nulle et

Si les contraintes imposées au système ne changent pas avec le temps, alors les forces, à la fois externes et internes, peuvent être divisées en réactions actives et contraintes, et l'équation (19.2.2) peut maintenant s'écrire:

En dynamique, un concept de système mécanique «idéal» est introduit. C'est un tel système, la présence de liaisons dans lesquelles n'affecte pas le changement d'énergie cinétique, c'est-à-dire

De telles connexions, qui ne changent pas dans le temps et dont la somme des travaux sur le déplacement élémentaire est égale à zéro, sont appelées idéales, et l'équation (19.2.5) s'écrira:

L'énergie potentielle d'un point matériel dans une position donnée M est appelée valeur scalaire P, égale au travail que les forces de champ vont produire lorsque le point passe de la position M à zéro

P \u003d A (mois) (19.3.1)

L'énergie potentielle dépend de la position du point M, c'est-à-dire de ses coordonnées

P \u003d P (x, y, z) (19.3.2)

Précisons ici qu'un champ de force fait partie du volume spatial, en chaque point duquel une force, déterminée en magnitude et en direction, agit sur une particule et dépend de la position de la particule, c'est-à-dire des coordonnées x, y, z. Par exemple, le champ gravitationnel de la Terre.

La fonction U des coordonnées, dont le différentiel est égal au travail, est appelée fonction de puissance... Le champ de force pour lequel une fonction de force existe est appelé champ de force potentiel, et les forces agissant dans ce domaine sont forces potentielles.

Laissez les points zéro pour deux fonctions de force (x, y, z) et U (x, y, z) coïncider.

Par formule (14.3.5) on obtient, i.e. dA \u003d dU (x, y, z) et

où U est la valeur de la fonction de force au point M. D'où

Ï (x, y, z) \u003d -U (x, y, z) (19.3.5)

L'énergie potentielle en tout point du champ de force est égale à la valeur de la fonction de force en ce point, prise avec le signe opposé.

Autrement dit, lorsque l'on considère les propriétés d'un champ de force, au lieu d'une fonction de force, on peut considérer l'énergie potentielle et, en particulier, l'équation (19.3.3) sera réécrite comme

Le travail de la force potentielle est égal à la différence des valeurs de l'énergie potentielle d'un point mobile dans les positions initiale et finale.

En particulier, le travail de la gravité:

Que toutes les forces agissant sur le système soient potentielles. Alors, pour chaque point k du système, le travail est égal à

Alors pour toutes les forces, à la fois externes et internes, il y aura

où est l'énergie potentielle de l'ensemble du système.

Nous substituons ces sommes dans l'expression de l'énergie cinétique (19.2.3):

ou enfin:

Lors d'un déplacement sous l'influence de forces potentielles, la somme de l'énergie cinétique et potentielle du système dans chacune de ses positions reste constante. C'est la loi de conservation de l'énergie mécanique.

Une charge de 1 kg effectue des vibrations libres selon la loi x \u003d 0,1sinl0t. Coefficient de rigidité du ressort c \u003d 100 N / m. Déterminer l'énergie mécanique totale de la charge à x \u003d 0,05 m, si à x \u003d 0 l'énergie potentielle est nulle . (0,5)

Une charge de masse m \u003d 4 kg, descendant, utilise un filetage pour faire tourner un cylindre de rayon R \u003d 0,4 m. Le moment d'inertie du cylindre par rapport à l'axe de rotation I \u003d 0,2. Déterminer l'énergie cinétique du système de corps au moment où la vitesse de la charge v \u003d 2m / s . (10,5)